Problema su iperbole e circonferenza passante per i fuochi

Ciao, mi aiutate a risolvere un problema in cui devo trovare l'equazione di un'iperbole e quella di una circonferenza passante per i fuochi dell'iperbole?

Determina l'equazione dell'iperbole avente vertice reale nel punto (4;0) e passante per il punto di coordinate (5;9/4). Calcola l'equazione della circonferenza di centro O e passante per i fuochi dell'iperbole. Individua le intersezioni C e D della circonferenza con l'asintoto dell'iperbole situato nel secondo e quarto quadrante. Calcola, infine, l'area del triangolo individuato dai punti C e D ed E(1;4).

Domanda di Jumpy
Soluzione

Ti consiglio di tenere a portata di mano il formulario sull'iperbole. ;)

Il vertice dell'iperbole è sull'asse x: V = (4,0), quindi ha equazione

(x^2)/(a^2)−(y^2)/(b^2) = 1

in particolare essendo il vertice reale (4,0), si ha

(x^2)/(16)−(y^2)/(b^2) = 1 

Imponiamo il passaggio per il punto A = (5 , 9/4):

(5^2)/(16)−(((9)/(4))^2)/(b^2) = 1

Svolgendo i calcoli otteniamo il valore di b^2

(25)/(16)−(81)/(16b^2) = 1 

da cui otteniamo il valore di b^2

b^2 = 9 

Quindi l'equazione dell'iperbole è

(x^2)/(16)−(y^2)/(9) = 1

 

Ora occupiamoci della circonferenza: la semidistanza focale dell'iperbole è

c = √(a^2+b^2) = √(25) = 5

Se la O in cui la circonferenza è centrata è l'origine allora la circonferenza ha centro in (0,0) e raggio 5, quindi la sua equazione è

x^2+y^2 = 25

Trovare le intersezioni in matematica si traduce sempre in un sistema: in questo caso dovremo risolvere il sistema dato dalle due equazioni

(x^2)/(16)−(y^2)/(9) = 1 ; x^2+y^2 = 25

Non dimentichiamoci della condizione aggiuntiva del problema: cerchiamo le intersezioni tra circonferenza e iperbole nel secondo e nel quarto quadrante, quindi dobbiamo aggiungere una condizione: x < 0, cioè i punti devono appartenere proprio al II, IV quadrante del piano cartesiano.

Ti ricordo che i quadranti si numerano a partire da quello in alto a destra in senso antiorario.

Per risolvere il sistema puoi ricavare dalla seconda equazione un'espressione per y^2 e sostituirla nella prima

(x^2)/(16)−(y^2)/(9) = 1 ; y^2 = 25−x^2

da cui

(x^2)/(16)−(25−x^2)/(9) = 1 ; y^2 = 25−x^2

Ora devi semplicemente risolvere la prima equazione, che è un'equazione di secondo grado, trovarne le soluzioni e risostituirle nella seconda.

Alla fine otteniamo 4 possibili coppie

(x,y) = (−4√(34)/5,−(9/5)), (x,y) = (−4√(34)/5,+(9/5)) ; (x,y) = (4√(34)/5,−(9/5)), (x,y) = (4√(34)/5, (9/5))

La condizione che abbiamo posto sulle x ci dice che le soluzioni accettabili sono la prima e la seconda.

 

A questo punto hai i vertici del triangolo, per calcolarne l'area è sufficiente considerare un lato come base e calcolarne la misura con la formula per la distanza tra due punti.

Poi calcoli la misura dell'altezza con la formula della distanza punto retta.

La distanza tra il punto P = (x_0,y_0) e la retta r: ax+by+c è data da

d(P,r) = (|ax_0+by_0+c|)/(√(a^2+b^2))

Lascio a te questi ultimi conti, se dovessi avere problemi scrivi pure!

Alpha

Risposta di: Redazione di YouMath
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