Soluzioni
  • Ti consiglio di tenere a portata di mano il formulario sull'iperbole. ;)

    Il vertice dell'iperbole è sull'asse x: V=(4,0), quindi ha equazione

    \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1

    in particolare essendo il vertice reale (4,0), si ha

    \frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{b^2}=1 

    Imponiamo il passaggio per il punto A=(5 , 9/4):

    \frac{5^2}{16}-\frac{\left(\frac{9}{4}\right)^2}{b^2}=1

    Svolgendo i calcoli otteniamo il valore di b^2

    \frac{25}{16}-\frac{81}{16b^2}=1 

    da cui otteniamo il valore di b^2

    b^2=9 

    Quindi l'equazione dell'iperbole è

    \frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1

     

    Ora occupiamoci della circonferenza: la semidistanza focale dell'iperbole è

    c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{25}=5

    Se la O in cui la circonferenza è centrata è l'origine allora la circonferenza ha centro in (0,0) e raggio 5, quindi la sua equazione è

    x^2+y^2=25

    Trovare le intersezioni in matematica si traduce sempre in un sistema: in questo caso dovremo risolvere il sistema dato dalle due equazioni

    \begin{cases}\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1\\ x^2+y^2=25\end{cases}

    Non dimentichiamoci della condizione aggiuntiva del problema: cerchiamo le intersezioni tra circonferenza e iperbole nel secondo e nel quarto quadrante, quindi dobbiamo aggiungere una condizione: x\ \textless\ 0, cioè i punti devono appartenere proprio al II, IV quadrante del piano cartesiano.

    Ti ricordo che i quadranti si numerano a partire da quello in alto a destra in senso antiorario.

    Per risolvere il sistema puoi ricavare dalla seconda equazione un'espressione per y^2 e sostituirla nella prima

    \begin{cases}\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1\\ y^2=25-x^2\end{cases}

    da cui

    \begin{cases}\frac{x^2}{16}-\frac{25-x^2}{9}=1\\ y^2=25-x^2\end{cases}

    Ora devi semplicemente risolvere la prima equazione, che è un'equazione di secondo grado, trovarne le soluzioni e risostituirle nella seconda.

    Alla fine otteniamo 4 possibili coppie

    \\ (x,y)=(-4\sqrt{34}/5, -(9/5)),\ \ (x,y)=(-4\sqrt{34}/5, +(9/5))\\ \\ (x,y)=(4\sqrt{34}/5, -(9/5)),\ \ (x,y)=(4\sqrt{34}/5, (9/5))

    La condizione che abbiamo posto sulle x ci dice che le soluzioni accettabili sono la prima e la seconda.

     

    A questo punto hai i vertici del triangolo, per calcolarne l'area è sufficiente considerare un lato come base e calcolarne la misura con la formula per la distanza tra due punti.

    Poi calcoli la misura dell'altezza con la formula della distanza punto retta.

    La distanza tra il punto P=(x_0,y_0) e la retta r:\ ax+by+c è data da

    d(P,r)=\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}

    Lascio a te questi ultimi conti, se dovessi avere problemi scrivi pure!

    Alpha

    Risposta di Alpha
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