Soluzioni
  • Dunque, ripartiamo dal testo:

    considera nell'insieme dei numeri interi relazione cosi definita: x è in relazione con y se e solo se la loro somma è un numero pari. Verifica che è una relazione di equivalenza e descrivi le classi di equivalenza e l'insieme quoziente.

    La relazione in questione è

    xRy\mbox{ se e solo se }x+y=2n

    con n\in\mathbb{N} un intero qualsiasi, in questo modo 2n è un numero pari.

    Dobbiamo verificare le proprietà che caratterizzano la definizione di relazione di equivalenza.

    Riflessività:

    è evidente in quanto x+x=2x che è sicuramente pari, quindi xRx

    Simmetria:

    se supponiamo che xRy, cioè x+y=2n, allora evidentemente y+x=2n e quindi yRx

    Transitività:

    se supponiamo che x+y=2n e che y+z=2m, cioè che xRy e che yRz allora se consideriamo

    x+z=x+2y-2y+z=

    quindi

    =x+y+y+z-2y

    da cui, grazie alle relazioni di cui disponiamo

    =2n+2m-2y=2(n+m-y)

    che è sicuramente un numero pari, e si conclude che xRz

    Le classi di equivalenza sono due: la classe dei pari e la classe dei dispari, quindi l'insieme quoziente è costituito solamente da queste due classi di equivalenza.

    Namasté!

    Risposta di Omega
 
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