Massimi e minimi assoluti?

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Salve,

avrei un problema con il seguente esercizio di massimi e minini assoluti; non so da dove cominciare

 

ƒ(x,y,z) = x2 - x + y2 + y ( z + x - 1 )

con i due vincoli

x2 + y2= 1

x + y + z = 1

 

se possibile con tutti i passaggi :)...grazie

 

Domanda di Danilo

 
Soluzioni

  • Ciao Danilo, arrivo a risponderti...

    Risposta di Omega

  • Usiamo Lagrange oppure un cambiamento opportuno di coordinate?...:) Se è richiesto un metodo specifico, fammelo sapere. Altrimenti procedo con coordinate cilindriche.

    Namasté!

    Risposta di Omega

  • vanno bene le coordinate cilindriche grazie Laughing

    Risposta di Danilo

  • Grazie alle coordinate cilindriche

    x=r\cos{(\theta)}

    y=r\sin{(\theta)}

    z=t

    Possiamo sbarazzarci di uno dei due vincoli, che infatti diventano:

    r^2=1

    cioè r=1 senza la soluzione negativa, e

    r\cos{(\theta)}+r\sin{(\theta)}+t-1=0

    In particolare, l'espressione della funzione diventa (dopo aver applicato il primo vincolo, per semplicità)

    1-\cos{(\theta)}+t\sin{(\theta)}+\sin{(\theta)}\cos{(\theta)}-\sin{(\theta)}

    Fin qui ti torna?

    Risposta di Omega

  • ok perfetto puoi continuare :)

    Risposta di Danilo

  • Ora esprimiamo anche l'altro vincolo in modo da poterlo utilizzare per sostituzione diretta:

    t=1-\cos{(\theta)}-\sin{(\theta)}

    (dove abbiamo imposto r=1), dunque sostituendo e facendo due conti di numero troverai come espressione della funzione

    1-\cos{(\theta)}-\sin^{2}{(\theta)}

    che è una funzione di una sola variabile e se ne possono studiare gli estremanti nel modo standard. La derivata è:

    \sin{(\theta)}\left(1-2\cos{(\theta)}\right)

    Risolto, o procediamo?

    Risposta di Omega

  • un attimo che provo a vedere se viene il risultato :)

    Risposta di Danilo
 
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