Massimi e minimi assoluti?

Salve,

avrei un problema con il seguente esercizio di massimi e minini assoluti; non so da dove cominciare

ƒ(x,y,z) = x² - x + y² + y ( z + x - 1 )

con i due vincoli

x² + y²= 1

x + y + z = 1

se possibile con tutti i passaggi :)...grazie

In Uni - Analisi - Domanda di Danilo

Soluzioni

Ciao Danilo, arrivo a risponderti...

Risposta di Omega
Usiamo Lagrange oppure un cambiamento opportuno di coordinate?...:) Se è richiesto un metodo specifico, fammelo sapere. Altrimenti procedo con coordinate cilindriche.

Namasté!

Risposta di Omega
vanno bene le coordinate cilindriche grazie

Risposta di Danilo
Grazie alle coordinate cilindriche

$x=r\cos{(\theta)}$

$y=r\sin{(\theta)}$

Possiamo sbarazzarci di uno dei due vincoli, che infatti diventano:

cioè senza la soluzione negativa, e

$r\cos{(\theta)}+r\sin{(\theta)}+t-1=0$

In particolare, l'espressione della funzione diventa (dopo aver applicato il primo vincolo, per semplicità)

$1-\cos{(\theta)}+t\sin{(\theta)}+\sin{(\theta)}\cos{(\theta)}-\sin{(\theta)}$

Fin qui ti torna?

Risposta di Omega
ok perfetto puoi continuare :)

Risposta di Danilo
Ora esprimiamo anche l'altro vincolo in modo da poterlo utilizzare per sostituzione diretta:

$t=1-\cos{(\theta)}-\sin{(\theta)}$

(dove abbiamo imposto ), dunque sostituendo e facendo due conti di numero troverai come espressione della funzione

$1-\cos{(\theta)}-\sin^{2}{(\theta)}$

che è una funzione di una sola variabile e se ne possono studiare gli estremanti nel modo standard. La derivata è:

$\sin{(\theta)}\left(1-2\cos{(\theta)}\right)$

Risolto, o procediamo?

Risposta di Omega
un attimo che provo a vedere se viene il risultato :)

Risposta di Danilo

Esercizi simili e domande correlate

Domande della categoria Uni-Analisi