Soluzioni
  • Iniziamo la risoluzione del problema, rappresentando adeguatamente gli enti geometrici che intervengono. Disegniamo una circonferenza di centro O e di diametro CD e tracciamo la corda di estremi AB che individua sul diametro CD un punto che indichiamo con H.

     

    Esercizio corda e circonferenza

     

    Scriviamo per bene i dati che il problema fornisce: sono noti la misura della corda AB e la distanza tra la corda e il centro OH. Il nostro obiettivo consiste nel calcolare il perimetro e l'area del quadrilatero ADBC:

    \\ AB=128\mbox{ cm} \\ \\ HO=48\mbox{ cm}\\ \\ 2p_{ADBC}=? \\ \\ \mbox{Area}_{ADBC}=?

    Per iniziare, consideriamo il triangolo rettangolo di vertici BHO, con cateti BH (metà del segmento AB) di lunghezza

    BH=AB:2=128\mbox{ cm}:2=64\mbox{ cm}

    e il segmento OH. Grazie al teorema di Pitagora, applicato a tale triangolo, siamo in grado di determinare la misura dell'ipotenusa OB:

    OB=\sqrt{BH^2+OH^2}=\sqrt{64^{2}+48^2}=\sqrt{6400}=80\mbox{ cm}

    Se osserviamo bene il disegno, l'ipotenusa OB è a tutti gli effetti un raggio della circonferenza, per cui OB=CO, inoltre moltiplicando per due la sua misura, ricaviamo la lunghezza del diametro:

    CD=2\times OB=2\times 80\mbox{ cm}=160\mbox{ cm}

    Inoltre, con le informazioni in nostro possesso, siamo in grado di determinare la lunghezza del segmento che congiunge i punti C\ \mbox{e}\ H: basta calcolare la differenza tra CO \ \mbox{e}\ HO.

    CH=CO-HO=80\mbox{ cm}-48\mbox{ cm}=32\mbox{ cm}

    Con questo dato, possiamo calcolare la misura del lato BCcongruente a AC, usando il teorema di Pitagora applicato al triangolo rettangolo di cateti CH\ \mbox{e} \ BH e di ipotenusa CB

    CB=AC=\sqrt{CH^2+BH^2}=\sqrt{32^2+64^2}=\sqrt{5120}\simeq 71,55\mbox{ cm}

    Il calcolo del perimetro richiede la misura di BD che si ottiene usando il teorema di Pitagora applicato, questa volta, al triangolo rettangolo con cateti HD\ \mbox{e}\ BH e con ipotenusa BD: ci manca però HD che si ricava sommando quelle di HO\ \mbox{e} \ OD

    HD=HO+OD=48\mbox{ cm}+80\mbox{ cm}=128\mbox{ cm}

    Ottimo, possiamo finalmente determinare la lunghezza di BD avvalendoci della formula:

    BD=\sqrt{HD^2+BH^2}=\sqrt{128^2+64^2}\simeq 143,11\mbox{ cm}

    Si noti che BD è congruente a AD, per cui i due lati hanno la medesima lunghezza.

    Abbiamo a disposizione gli elementi che ci consento di calcolare il perimetro:

    \\ 2p_{ADBC}=AC+CB+BD+AD\simeq (71,55+71,55+143,11 +143,11)\mbox{ cm}=\\ \\ =429,32\mbox{ cm}

    Per calcolare l'area bisogna notare che ADBC è un quadrilatero a diagonali perpendicolari: più precisamente è un deltoide, la cui area coincide con il semiprodotto delle misure delle diagonali.

    \mbox{Area}_{ADCB}=\frac{CD\times AB}{2}=\frac{160\times 128}{2}\mbox{ cm}^2=10240 \ \mbox{cm}^2

    Ecco fatto!

    Risposta di Ifrit
 
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