Soluzioni
  • Ciao Klelia :)

    Per trovare le rette tangenti ad entrambe le circonferenze di equazione

    x^2+y^2-2x=0 \mbox{ e } x^2+y^2+4x=0

    procediamo nel modo seguente.

    Innanzitutto osserviamo che, poiché le due circonferenze passano per l'origine e i due centri giacciono sull'asse x, l'asse y (ossia la retta di equazione x=0) è una retta tangente ad entrambe. Potrebbe, a tal proposito, aiutarti un disegno, ossia rappresentare le due circonferenze nel piano cartesiano.

    Sia poi y=mx+q l'equazione di una retta generica. Sostituendo nella prima equazione abbiamo

    x^2+(mx+q)^2-2x=0

    da cui, sviluppando il quadrato del binomio e ordinando secondo le potenze decrescenti di x:

    (m^2+1)x^2+2(mq-1)x+q^2=0

    Ricadiamo così in un'equazione di secondo grado nell'incognita x con

    a=m^2+1, \ b=2(mq-1), \ c=q^2

    Affinché retta e circonferenza siano tangenti dobbiamo imporre che il discriminante associato a tale equazione sia zero (vedi posizioni di una retta rispetto ad una circonferenza); poiché b è pari possiamo imporre che il delta quarti sia nullo, ossia

    \frac{\Delta}{4}=\left(\frac{b}{2}\right)^2-ac=0

    da cui

    (mq-1)^2-(m^2+1)q^2=0

    Sviluppiamo i conti

    m^2q^2-2mq+1-m^2q^2-q^2=0 \to 1-2mq-q^2=0

    Quella appena ottenuta è la condizione di tangenza tra retta e prima circonferenza. Ripetendo lo stesso ragionamento per la seconda circonferenza abbiamo

    x^2+(mx+q)^2+4x=0

    Sviluppiamo il quadrato di binomio e ordiniamo secondo le potenze decrescenti di x:

    (m^2+1)x^2+2(mq+2)x+q^2=0

    e imponiamo che il delta quarti sia nullo

    (mq+2)^2-(m^2+1)q^2=0

    m^2q^2+4mq+4-m^2q^2-q^2=0 \to 4+4mq-q^2=0

    che è la condizione di tangenza tra retta e seconda circonferenza. Affinché la retta sia tangente ad entrambe le circonferenze le due condizioni trovate devono valere contemporaneamente, ossia dobbiamo risolvere il sistema

    \begin{cases}1-2mq-q^2=0 \\ 4+4mq-q^2=0\end{cases}

    Moltiplicando la prima equazione per 2 abbiamo

    \begin{cases}2-4mq-2q^2=0 \\ 4+4mq-q^2=0\end{cases}

    e, sommando membro a membro, ricadiamo in un'equazione di secondo grado nell'incognita q

    6-3q^2=0

    che ha come soluzioni

    q=\pm \sqrt{2}

    Sostituendo, ad esempio, nella seconda equazione del sistema

    \mbox{Per } q=\sqrt{2}: \ m=-\frac{\sqrt{2}}{4}

    \mbox{Per } q=-\sqrt{2}: \ m=\frac{\sqrt{2}}{4}

    Abbiamo così trovato (oltre all'asse y) due altre rette tangenti ad entrambe le circonferenze che sono

    y=-\frac{\sqrt{2}}{4}x+\sqrt{2}

    y=\frac{\sqrt{2}}{4}x-\sqrt{2}

    Fine. :)

    Risposta di Galois
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