Soluzioni
  • Risolviamo l'equazione goniometrica di secondo grado

    2\sin^2(x)+\sin(x)=0

    operando la seguente sostituzione: poniamo y=\sin(x), in questo modo la relazione si traduce in

    2y^2+y=0

    Ci siamo quindi ricondotti a un'equazione spuria nell'incognita y che possiamo risolvere mettendo in evidenza il fattore comune y

    y(2y+1)=0

    e sfruttando in seguito la legge di annullamento del prodotto: essa garantisce che il prodotto al primo membro è pari a zero se e solo se almeno uno dei fattori che lo compongono è zero.

    La legge consente quindi di impostare le seguenti equazioni di primo grado

    y=0 \ \ \ , \  \ \ 2y+1=0

    la prima delle quali è già risolta, mentre per la seconda è sufficiente isolare l'incognita al primo membro

    2y+1=0 \ \ \ \to \ \ \ y=-\frac{1}{2}

    Ripristiniamo il seno tenendo a mente la sostituzione fatta. Poiché y=\sin(x), la relazione

    y=0

    si traduce nell'equazione goniometrica elementare

    \sin(x)=0

    soddisfatta dalla famiglia di valori

    x=k\pi \ \ \ \mbox{con} \ k\in\mathbb{Z}

    La relazione

    y=-\frac{1}{2}

    si tramuta invece nell'equazione

    \sin(x)=-\frac{1}{2}

    che si risolve ricordando i valori notevoli del seno: il seno di un angolo è pari a -\frac{1}{2} nel momento in cui l'angolo vale

    \frac{7\pi}{6} \ \ \ \vee  \ \ \ \frac{11\pi}{6}

    a meno della periodicità della funzione goniometrica. In termini più espliciti scriviamo

    x=\frac{7\pi}{6}+2k\pi \ \ \ \vee \ \ \ \ x=\frac{11\pi}{6}+2k\pi

    dove k è un qualsiasi numero intero.

    Riassumendo, l'equazione

    2\sin^2(x)+\sin(x)=0

    è soddisfatta dai seguenti valori

    x=k\pi \ \ \ ,  \ \ \ x=\frac{7\pi}{6}+2k\pi \ \ \ , \ \ \ x=\frac{11\pi}{6}+2k\pi

    al variare di k\in\mathbb{Z}.

    Fatto!

    Risposta di Ifrit
 
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