Equazione goniometrica di secondo grado con seno

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Dovrei trovare le soluzioni di un'equazione goniometrica di secondo grado in soli seni. Il mio prof non ha spiegato come si risolvono, per questo richiedo il vostro intervento.

 

Determinare tutte le soluzioni della seguente equazione goniometrica di secondo grado

 

2sin^2(x)+sin(x) = 0

 

Grazie mille.

Domanda di pinguino92

 
Soluzioni

  • Risolviamo l'equazione goniometrica di secondo grado

    2sin^2(x)+sin(x) = 0

    operando la seguente sostituzione: poniamo y = sin(x), in questo modo la relazione si traduce in

    2y^2+y = 0

    Ci siamo quindi ricondotti a un'equazione spuria nell'incognita y che possiamo risolvere mettendo in evidenza il fattore comune y

    y(2y+1) = 0

    e sfruttando in seguito la legge di annullamento del prodotto: essa garantisce che il prodotto al primo membro è pari a zero se e solo se almeno uno dei fattori che lo compongono è zero.

    La legge consente quindi di impostare le seguenti equazioni di primo grado

    y = 0 , 2y+1 = 0

    la prima delle quali è già risolta, mentre per la seconda è sufficiente isolare l'incognita al primo membro

    2y+1 = 0 → y = -(1)/(2)

    Ripristiniamo il seno tenendo a mente la sostituzione fatta. Poiché y = sin(x), la relazione

    y = 0

    si traduce nell'equazione goniometrica elementare

    sin(x) = 0

    soddisfatta dalla famiglia di valori

    x = kπ con k∈Z

    La relazione

    y = -(1)/(2)

    si tramuta invece nell'equazione

    sin(x) = -(1)/(2)

    che si risolve ricordando i valori notevoli del seno: il seno di un angolo è pari a -(1)/(2) nel momento in cui l'angolo vale

    (7π)/(6) ∨ (11π)/(6)

    a meno della periodicità della funzione goniometrica. In termini più espliciti scriviamo

    x = (7π)/(6)+2kπ ∨ x = (11π)/(6)+2kπ

    dove k è un qualsiasi numero intero.

    Riassumendo, l'equazione

    2sin^2(x)+sin(x) = 0

    è soddisfatta dai seguenti valori

    x = kπ , x = (7π)/(6)+2kπ , x = (11π)/(6)+2kπ

    al variare di k∈Z.

    Fatto!

    Risposta di Ifrit
 
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