Raggio di convergenza di una serie di potenze con n^2

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Ho bisogno di voi per risolvere un esercizio sulle serie di potenze, in cui mi viene chiesto di calcolare il raggio e l'insieme di convergenza. Potreste aiutarmi?

 

Calcolare il raggio e l'intervallo di convergenza della serie di potenze

 

Σ_(n = 1)^(+∞)n^2(x-1)^n

 

Grazie.

Domanda di leoncinakiara

 
Soluzioni

  • La serie

    Σ_(n = 1)^(+∞)n^2(x-1)^(n)

    si presenta nella forma

    Σ_(n = 1)^(+∞)a_n(x-x_0)^(n)

    con a_n = n^2 e x_0 = 1, pertanto è una serie di potenze centrata in x_0 = 1. L'esercizio ci chiede di calcolare sia il raggio di convergenza, sia l'insieme nel quale la serie è convergente.

    Raggio di convergenza

    Per calcolare il raggio di convergenza possiamo avvalerci del criterio di D'Alembert, secondo cui se esiste il limite del rapporto

    lim_(n → +∞)|(a_(n+1))/(a_(n))| = ell

    allora il raggio di convergenza della serie R è dato da

    R = 0 se ell = +∞ ;+∞ se ell = 0 ; ; (1)/(ell) se 0 < ell < +∞

    Calcoliamo ell

    ell = lim_(n → +∞)|(a_(n+1))/(a_n)| = lim_(n → +∞)|((n+1)^2)/(n^2)| =

    Cancelliamo il valore assoluto perché il suo argomento è positivo

    = lim_(n → +∞)((n+1)^(2))/(n^2) =

    e usiamo le proprietà delle potenze per esprimere il rapporto dei quadrati nel quadrato del rapporto

    = lim_(n → +∞)((n+1)/(n))^2 = 1^2 = 1

    Poiché ell = 1 allora il raggio di convergenza della serie è

    R = (1)/(ell) = 1

    Insieme di convergenza

    In accordo con la teoria, se x soddisfa la relazione

    |x-x_0| < R → |x-1| < 1

    la serie di potenze converge: risolviamo quindi la disequazione con valore assoluto

    |x-1| < 1

    Essa è equivalente alla doppia disequazione

    -1 < x-1 < 1

    da cui, se sommiamo 1 ai tre membri, otteniamo

    0 < x < 2

    Ne deduciamo che se 0 < x < 2, allora la serie di potenze converge.

    Attenzione, non abbiamo ancora finito! Dobbiamo controllare il comportamento della serie agli estremi dell'intervallo, ossia per x = 0 e per x = 2.

    Se sostituiamo x = 0 nella serie di potenze, otteniamo la serie numerica

    Σ_(n = 1)^(+∞)(-1)^(n)n^2

    che non può convergere, perché viene meno la condizione necessaria per la convergenza. Posto infatti

    b_(n) = (-1)^(n)n^2

    il limite

    lim_(n → +∞)b_(n) = lim_(n → +∞)(-1)^(n)n^2

    non esiste. Per dimostrarlo è sufficiente osservare che le sottosuccessioni b_(2k)_(k) e b_(2k+1)_(k) hanno limiti distinti:

    lim_(k → +∞)b_(2k) = lim_(k → +∞)(-1)^(2k)(2k)^2 = lim_(k → +∞)4k^2 = +∞ ; lim_(k → +∞)b_(2k+1) = lim_(k → +∞)(-1)^(2k+1)(2k+1)^2 = lim_(k → +∞)[-4k^2-4k-1] = -∞

    Se invece sostituiamo x = 2, la serie di partenza si tramuta nella serie numerica

    Σ_(n = 1)^(+∞)n^(2)

    che non può convergere perché il termine generale non tende a 0 per n che tende a +∞.

    Alla luce delle precedenti considerazioni, concludiamo che il raggio di convergenza è R = 1, mentre l'intervallo in cui la serie di potenze converge è I = (0,2).

    Risposta di Ifrit
 
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