Soluzioni
  • La serie

    \sum_{n=1}^{+\infty}n^2(x-1)^{n}

    si presenta nella forma

    \sum_{n=1}^{+\infty}a_n(x-x_0)^{n}

    con a_n=n^2 e x_0=1, pertanto è una serie di potenze centrata in x_0=1. L'esercizio ci chiede di calcolare sia il raggio di convergenza, sia l'insieme nel quale la serie è convergente.

    Raggio di convergenza

    Per calcolare il raggio di convergenza possiamo avvalerci del criterio di D'Alembert, secondo cui se esiste il limite del rapporto

    \lim_{n\to+\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|=\ell

    allora il raggio di convergenza della serie R è dato da

    R=\begin{cases}0&\mbox{se}\  \ell=+\infty\\ \\  +\infty&\mbox{se}\ \ell=0\\  \\ \dfrac{1}{\ell}&\mbox{se} \ 0<\ell<+\infty\end{cases}

    Calcoliamo \ell

    \\ \ell= \lim_{n\to+\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\lim_{n\to+\infty}\left|\frac{(n+1)^2}{n^2}\right|=

    Cancelliamo il valore assoluto perché il suo argomento è positivo

    =\lim_{n\to+\infty}\frac{(n+1)^{2}}{n^2}=

    e usiamo le proprietà delle potenze per esprimere il rapporto dei quadrati nel quadrato del rapporto

    =\lim_{n\to+\infty}\left(\frac{n+1}{n}\right)^2=1^2=1

    Poiché \ell=1 allora il raggio di convergenza della serie è

    R=\frac{1}{\ell}=1

    Insieme di convergenza

    In accordo con la teoria, se x soddisfa la relazione

    |x-x_0|<R \ \ \ \to \ \ \ |x-1|<1

    la serie di potenze converge: risolviamo quindi la disequazione con valore assoluto

    |x-1|<1

    Essa è equivalente alla doppia disequazione

    -1<x-1<1

    da cui, se sommiamo 1 ai tre membri, otteniamo

    0<x<2

    Ne deduciamo che se 0<x<2, allora la serie di potenze converge.

    Attenzione, non abbiamo ancora finito! Dobbiamo controllare il comportamento della serie agli estremi dell'intervallo, ossia per x=0 e per x=2.

    Se sostituiamo x=0 nella serie di potenze, otteniamo la serie numerica

    \sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n}n^2

    che non può convergere, perché viene meno la condizione necessaria per la convergenza. Posto infatti

    b_{n}=(-1)^{n}n^2

    il limite

    \lim_{n\to+\infty}b_{n}=\lim_{n\to+\infty}(-1)^{n}n^2

    non esiste. Per dimostrarlo è sufficiente osservare che le sottosuccessioni \{b_{2k}\}_{k}\ \mbox{e} \ \{b_{2k+1}\}_{k} hanno limiti distinti:

    \\ \lim_{k\to+\infty}b_{2k}=\lim_{k\to+\infty}(-1)^{2k}(2k)^2=\\ \\ =\lim_{k\to+\infty}4k^2=+\infty \\ \\ \\ \lim_{k\to+\infty}b_{2k+1}=\lim_{k\to+\infty}(-1)^{2k+1}(2k+1)^2=\\ \\ =\lim_{k\to+\infty}[-4k^2-4k-1]=-\infty

    Se invece sostituiamo x=2, la serie di partenza si tramuta nella serie numerica

    \sum_{n=1}^{+\infty}n^{2}

    che non può convergere perché il termine generale non tende a 0 per n che tende a +\infty.

    Alla luce delle precedenti considerazioni, concludiamo che il raggio di convergenza è R=1, mentre l'intervallo in cui la serie di potenze converge è I=(0,2).

    Risposta di Ifrit
 
MEDIEGeometriaAlgebra e Aritmetica
SUPERIORIAlgebraGeometriaAnalisiAltro
UNIVERSITÀAnalisiAlgebra LineareAlgebraAltro
EXTRAPilloleWiki
 
Esercizi simili e domande correlate
Domande della categoria Università - Analisi Matematica