Matrice diagonalizzabile e autovalori distinti

Ciao Peppone19, arrivo a risponderti...

Se gli autovalori sono tutti distinti allora una matrice è certamente diagonalizzabile: infatti, la condizione necessaria e sufficiente di diagonalizzabilità prevede che le molteplicità geometriche e le rispettive molteplicità algebriche degli autovalori coincidano e che la somma delle molteplicità algebriche degli autovalori sia pari alla dimensione della matrice.

Se gli autovalori sono tutti distinti, le molteplicità algebriche degli autovalori saranno necessariamente pari ad 1, ed inoltre essendo la molteplicità geometrica di un autovalore sempre minore della molteplicità algebrica dell'autovalore stesso, ne consegue che esse coincidono (perché anche le molteplicità geometriche saranno tutte pari ad 1).

Namasté!

e se ho una matrice 3x3, nel campo dei numeri reali,devo vedere se è diagonalizzabile per trovare gli autovalori ho sottratto alla diagonale principale lamba e ho ottenuto λ^3 - λ^2 = 0 qui gli unici autovalori  sono 0 e 1 come procedo?

Attenzione che in questo caso l'autovalore ha molteplicità algebrica due. Quindi devi calcolare la molteplicità geometrica dello stesso: se è due, la matrice è ancora diagonalizzabile. Se invece è uno, allora la matrice non è diagonalizzabile.

proviamo a  se questa matrice è diagonalizzabile e in caso affermativo troviamo quella che la diagonalizzi scrivo le righe: (2,1,0),(-2,0,-2),(-1,0,-1) grazie anticipatamente...

Allora la tua matrice può essere ridotta per righe in questa:

Adesso cerchiamo gli autovalori

Calcoliamo il determinante e otteniamo:

Quindi tutti i risultati hanno molteplicità algebrica pari ad 1. Per trovare quella geometrica puoi tranquillamente cercare le basi degli autospazi relativi a tali autovalori e vederne la loro dimensione, se per tutti gli autospazi corrisponde alla molteplicità algebrica degli autovalori relativi allora la matrice è diagonalizzabile. Ti ricordo che poiché stai lavorando in R un altra condizione è che tutti gli autovalori devono essere in R.

Adesso vediamo gli autospazi:

1) per k=0 ho:

Quindi dimensione pari ad 1= molteplicità algebrica di k=0.

2) per k= ho:

Quindi dimensione pari ad 1

3) per k= ho:

Quindi dimensione pari ad 1

Poiché tutti gli autovalori sono in R e tutti le molteplicità algebriche sono uguali a quelle geometriche si può concludere che la matrice è diagonalizzabile.

La matrice che la diagonalizza perciò è questa: