Soluzioni
  • L'integrale definito è

    \int_{0}^{1}\frac{x-2}{1+9x^2}dx=

    che possiamo scrivere come somma di integrali grazie alle proprietà degli integrale

    =\int_{0}^{1}\frac{x}{1+9x^2}dx-2\int_{0}^{1}\frac{1}{1+9x^2}dx= (\bullet)

    Il secondo integrale ha evidentemente come primitiva l'arcotangente di 3x (a meno di costanti moltiplicative):

    \\ \int\frac{1}{1+9x^2}dx=\frac{1}{3}\int\frac{3}{1+9x^2}dx=\\ \\ \\ =\frac{1}{3}\arctan(3x)+c_1

    Il primo integrale invece ha come primitiva un logaritmo

    \int\frac{x}{1+9x^2}dx=\frac{1}{18}\int\frac{18 x}{1+9x^2}dx=\frac{1}{18}\log(1+9x^2)+c_2

    L'integrale definito è dunque uguale a:

    \\ (\bullet)=\frac{1}{18}[\log(1+9x^2)]_{x=0}^{x=1}-2\left[\frac{1}{3}\arctan(3x)\right]_{x=0}^{x=1}= \\ \\  \\ = \frac{1}{18}\log(10)-\frac{2}{3}\arctan(3)

    Ecco fatto!

    Risposta di Ifrit
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