Integrale definito di una funzione razionale fratta

Question

Avrei bisogno di una mano per calcolare il seguente integrale definito che ha come integranda una funzione razionale, in particolare vorrei che qualcuno mi spiegasse i passi fatti per giungere alla soluzione. ∫_(0)^(1)(x-2)/(1+9x^2)dx

Redazione di YouMath · Accepted Answer

L'integrale definito è ∫_(0)^(1)(x-2)/(1+9x^2)dx = che possiamo scrivere come somma di integrali grazie alle proprietà degli integrale = ∫_(0)^(1)(x)/(1+9x^2)dx-2∫_(0)^(1)(1)/(1+9x^2)dx = (•) Il secondo integrale ha evidentemente come primitiva l'arcotangente di 3x (a meno di costanti moltiplicative): ; ∫(1)/(1+9x^2)dx = (1)/(3)∫(3)/(1+9x^2)dx = (1)/(3)arctan(3x)+c_1 Il primo integrale invece ha come primitiva un logaritmo ∫(x)/(1+9x^2)dx = (1)/(18)∫(18 x)/(1+9x^2)dx = (1)/(18)log(1+9x^2)+c_2 L'integrale definito è dunque uguale a: ; (•) = (1)/(18)[log(1+9x^2)]_(x = 0)^(x = 1)-2[(1)/(3)arctan(3x)]_(x = 0)^(x = 1) = (1)/(18)log(10)-(2)/(3)arctan(3) Ecco fatto!