Soluzioni
  • Consideriamo la funzione definita per casi nell'intervallo (-\pi,\pi)

    f(x)=\begin{cases}x\ln(|\sin(x)|)&\mbox{se} \ x\ne 0 \\ 0&\mbox{se} \ x=0\end{cases}

    Per stabilire se f(x) è una funzione continua in x_0 dobbiamo studiare il limite per x\to 0 di f(x) e mostrare che  esso coincide con la valutazione della funzione nel punto: in altri termini dobbiamo controllare se è vero che:

    \lim_{x\to 0}f(x)=f(0)

    Se così non fosse, x_0=0 sarebbe invece un punto di discontinuità.

    Osserviamo che

    f(x)=x\ln(|\sin(x)|)

    in ogni intorno bucato di x_0=0 per cui non serve calcolare i limiti destro e sinistro, basta lavorare col limite bilatero. mentre f(0)=0, pertanto dobbiamo verificare che è vera l'uguaglianza

    \lim_{x\to 0}x\ln(|\sin(x)|)=0

    Per x\to 0, il seno è infinitesimo, così come lo è il suo valore assoluto, pertanto il logaritmo tenderà a -\infty. Questa non è una buona notizia, significa infatti che il limite si presenta nella forma indeterminata [0\cdot\infty].

    D'altra parte la sua risoluzione diventa agevole se sfruttiamo il confronto tra infiniti e infinitesimi: l'infinitesimo x batte il logaritmo.

    Una giustificazione formale della nullità del limite

    \lim_{x\to 0}x\ln(|\sin(x)|)

    è molto laboriosa e richiede l'intervento del limite fondamentale

    \lim_{f(x)\to 0}f(x)\ln(f(x))=0\ \ \ (\bullet)

    Per ricondurci a questa forma moltiplichiamo e dividiamo per |\sin(x)| cosicché

    \lim_{x\to 0}x\ln(|\sin(x)|)=

    diventi

    =\lim_{x\to 0}\left[\frac{x}{|\sin(x)|}\cdot|\sin(x)|\ln(|\sin(x)|)\right]=

    dopodiché moltiplichiamo e dividiamo per |x| così da ricondurci al limite notevole del seno.

    \\ =\lim_{x\to 0}\frac{x}{|x|}\cdot\frac{|x|}{|\sin(x)|}\cdot |\sin(x)|\ln(|\sin(x)|)=\\ \\ \\ =\lim_{x\to 0}\left[\frac{x}{|x|}|\sin(x)|\ln(|\sin(x)|)\right]\cdot\lim_{x\to 0}\left|\frac{x}{\sin(x)}\right|=

    L'argomento del valore assoluto del terzo limite tende a 1, perciò l'espressione si semplifica in

    =\lim_{x\to 0}\left[\frac{x}{|x|}\cdot |\sin(x)|\ln(|\sin(x)|)\right]=0

    Il limite è zero perché la funzione che lo compone è il prodotto tra la funzione limitata \frac{x}{|x|}

    -1\le\frac{x}{|x|}\le 1 \ \ \ \forall x\in\mathbb{R}-\{0\}

    e la funzione infinitesima |\sin(x)|\ln(|\sin(x)|) - per via del limite notevole (\bullet).

    In definitiva possiamo concludere che il limite della funzione coincide con la valutazione in x_0=0, ossia

    \lim_{x\to 0}x\ln(|\sin(x)|)=0

    per cui è continua in tale punto.

    Risposta di Ifrit
 
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