dalla rappresentazione polare alla rappresentazione algebrica e viceversa

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Propongo questi due quesiti per capire come passare dalla rappresentazione polare alla rappresentazione algebrica e viceversa:

  1. Si consideri il numero complesso z = 1 - i. La sua rappresentazione polare è:

  1. 2e^(-iπ/4)

  2. √(2)e^(-iπ/4)

  3. √(2)e^(iπ/4)

  4. 2e^(-iπ/2)

 

  1. Si consideri il numero complesso con rappresentazione polare z = 2e^(-iπ/4). La sua rappresentazione algebrica è

 

  1. 1-i√(3)

  2. -1+i√(3)

  3. -1-i√(3)

  4. 1+i√(3)

Domanda di rossella

 
Soluzioni

  • Ciao Rossella, arrivo a risponderti:

     

    z=1-i, il modulo è dato da

     

    √(1+1) = √(2)

     

    Cioè la radice della parte reale al quadrato più la parte immaginaria al quadrato.

     

    Ora per determinare θ, usa le seguenti formule:

     

    θ = arctan((b)/(a))

     

    se la parte reale del numero complesso è positiva. Se fosse negativa dovremmo calcolare

     

    θ = arctan((b)/(a))+π

     

    Nel nostro caso la parte reale è 1, dunque è positiva e

     

    θ = arctan(1) = (π)/(4)

     

    Dunque in forma esponenziale il numero complesso è

     

    √(2)e^(i(π)/(4))

     

    Al contrario, dato

     

    2e^(-i(π)/(4))

     

    è sufficiente usare la rappresentazione seguente:

     

    z = 2(cos(-(π)/(4))+isin(-(π)/(4)))

     

    quindi, per le proprietà di seno e coseno

     

    z = 2(cos((π)/(4))-isin((π)/(4)))

     

    svolgendo i calcoli

     

    z = 2((√(2))/(2)-i(√(2))/(2))

     

    z = √(2)-i√(2)

     

    z = √(2)(1-i)

     

    Quindi nessuna delle tue risposte è corretta, credo che ci sia un errore nell'esercizio!

     

    Risposta di Alpha

  • Nelle soluzioni mi da che per la prima domanda la risposta è la 2 mentre per la seconda domanda la risposta è la 4 Undecided

    Comunque a me interessava più che altro come passare dalla rappresentazione polare alla rappresentazione algebrica e viceversa:)

     

    Risposta di rossella

  • Per la prima ha ragione il tuo libro, ho scritto male, infatti b=-1 quindi b/a=-1 dunque l'angolo è -pi/4.

    Per quanto riguarda il secondo credo proprio di avere fatto bene, dato che il nuero complesso che è rapresentato dalla soluzione 4 è

     

    2e^(iπ/3)

    Risposta di Alpha

  • Comnque qual'è il procedimento generale per passare dalla rappresentazione polare alla rappresentazione algebrica e viceversa ?

     

    Risposta di rossella

  • è scritto sopra rossella...comunque dalla forma algebrica alla polare:

     

    z = a+ib

     

    modulo:

     

    ρ = √(a^2+b^2)

     

    l'angolo è determinato come segue

     

    se a è positivo

     

    θ = arctan((b)/(a))

     

    se a è negativo

     

    θ = arctan((b)/(a))+π

     

    Dalla forma polare alla forma algebrica:

     

    z = ρ e^(iθ) = ρ(cos(θ)+isin(θ))

     

    risolvendo ottieni proprio la forma algbrica di z, cioè la parte reale data dal coseno e la parte immaginaria data dal seno.

    Risposta di Alpha
 
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