Soluzioni
  • L'esercizio ci chiede di risolvere la seguente espressione letterale con i monomi

    \left[-(-2ax^2)^2:\left(-\frac{5}{2}ax^2\right)-\frac{3}{5}(-a^2x)^3:(-a^5x)\right]^2:\left(-\frac{1}{2}x\right)^3+50x\left(-\frac{1}{5}a\right)^2=

    usando opportunamente le proprietà delle potenze. Chiaramente bisogna sapere anche come si svolgono le operazioni con i monomi.

    Iniziamo subito svolgendo le potenze dei monomi

    =\left[-4a^2x^{4}:\left(-\frac{5}{2}ax^2\right)-\frac{3}{5}(-a^6x^3):(-a^5x)\right]^2:\left(-\frac{1}{8}x^3\right)+50x\left(\frac{1}{25}a^2\right)=

    Nelle parentesi quadre compaiono due divisioni e una sottrazioni e in base all'ordine delle operazioni, le prime hanno la precedenza sulla seconda. Calcoliamo il quoziente tra i monomi -4a^2 x^4 \ \mbox{e} \ -\frac{5}{2}ax^2, dividendo i loro coefficienti e parti letterali, in particolare utilizzeremo la regola sul quoziente di potenze con la stessa base per ottenere il corretto esponente da attribuire a ciascuna lettera.

    \\ =\left[-4:\left(-\frac{5}{2}\right)a^{2-1}x^{4-2}-\frac{3}{5}(-a^6x^3):(-a^5x)\right]^2:\left(-\frac{1}{8}x^3\right)+50x\left(\frac{1}{25}a^2\right)= \\ \\ \\ =\left[-4:\left(-\frac{5}{2}\right)ax^{2}-\frac{3}{5}(-a^6x^3):(-a^5x)\right]^2:\left(-\frac{1}{8}x^3\right)+50x\left(\frac{1}{25}a^2\right)=

    Eseguiamo la divisione tra le frazioni riscrivendola come prodotto tra la frazione dividendo per il reciproco della frazione divisore

    \\ =\left[-4\cdot\left(-\frac{2}{5}\right)ax^{2}-\frac{3}{5}(-a^6x^3):(-a^5x)\right]^2:\left(-\frac{1}{8}x^3\right)+50x\left(\frac{1}{25}a^2\right)= \\ \\ \\ =\left[\frac{8}{5}ax^{2}-\frac{3}{5}(-a^6x^3):(-a^5x)\right]^2:\left(-\frac{1}{8}x^3\right)+50x\left(\frac{1}{25}a^2\right)=\\ \\ \\ =\left[\frac{8}{5}ax^{2}+\frac{3}{5}a^6x^3:(-a^5x)\right]^2:\left(-\frac{1}{8}x^3\right)+50x\left(\frac{1}{25}a^2\right)=

    Procediamo allo stesso modo con la divisione tra i monomi \frac{3}{5}a^6x^3\ \mbox{e} \ (-a^5x)

    =\left[\frac{8}{5}ax^{2}+\left(\frac{3}{5}:(-1)\right)a^{6-5}x^{3-1}\right]^2:\left(-\frac{1}{8}x^3\right)+50x\left(\frac{1}{25}a^2\right)=

    e grazie alla regola dei segni, l'espressione diventa

    =\left[\frac{8}{5}ax^{2}-\frac{3}{5}ax^{2}\right]^2:\left(-\frac{1}{8}x^3\right)+50x\left(\frac{1}{25}a^2\right)=

    Calcoliamo la differenza nelle parentesi quadre, sottraendo tra loro i coefficienti dei monomi simili 

    \\ =\left[\left(\frac{8}{5}-\frac{3}{5}\right)ax^{2}\right]^2:\left(-\frac{1}{8}x^3\right)+50x\left(\frac{1}{25}a^2\right)= \\ \\ \\ =\left[\left(\frac{8-3}{5}\right)ax^{2}\right]^2:\left(-\frac{1}{8}x^3\right)+50x\left(\frac{1}{25}a^2\right)=\\ \\ \\ =\left[\left(\frac{5}{5}\right)ax^{2}\right]^2:\left(-\frac{1}{8}x^3\right)+50x\left(\frac{1}{25}a^2\right)=

    Riduciamo ai minimi termini la frazione \frac{5}{5}

    =\left[ax^{2}\right]^2:\left(-\frac{1}{8}x^3\right)+50x\left(\frac{1}{25}a^2\right)=

    ed esplicitiamo la potenza del monomio

    =a^2x^{4}:\left(-\frac{1}{8}x^3\right)+50x\left(\frac{1}{25}a^2\right)=

    Siamo prossimi alla conclusione: dobbiamo semplicemente svolgere la divisione e la moltiplicazione e infine sommare tra loro i risultati

    \\ =\left(1:\left(-\frac{1}{8}\right)\right)a^2x^{4-3}+50\cdot\frac{1}{25}a^2x= \\ \\ \\ =\left(1\cdot \left(-8\right)\right)a^2x^{4-3}+50\cdot\frac{1}{25}a^2x=\\ \\ = -8a^2 x+2a^2x=\\ \\ =(-8+2)a^2x=-6a^2x

    Abbiamo terminato.

    Risposta di Ifrit
 
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