Soluzioni
  • Dobbiamo considerare un caso alla volta, come si suol fare nelle disequazioni con valori assoluti.

    Hai fatto benissimo a studiare i segni inizialemente:

    x\geq 2\ ;\ x\geq 1\ ;\ x\geq 4

    Non dobbiamo fermarci qui, ma anche studiare come queste tre condizioni si influenzano tra loro. Per farlo si utilizza un metodo del tutto simile a quello che si usa abitualmente per le disequazioni fratte, o se preferisci per le disequazioni di grado superiore al secondo

     

    Tabella per i segni di una disequazione con valori assoluti

     

    Questo schema non porta alla soluzione del sistema, ma ti dice quali casi devi discutere. Come al solito:

    - la linea tratteggiata sta per negativo, il che implica un cambio di segno dell'argomento del modulo;

    - la linea continua sta per positivo, il che implica che l'argomento del modulo non cambia segno.

    Primo caso: tre linee tratteggiate, quindi dobbiamo cambiare il segno in tutti i moduli. Quale condizione mettiamo per la x? Guardiamo il grafico e vediamo che x è minore di 1, quindi il primo sistema di disequazioni da risolvere è il seguente

    \begin{cases}-(x-2)-(x-1)-2\cdot(-(4-x))-x +2 \geq 0\\ x<1\end{cases}

    Poi passiamo a considerare il grafico tra 1 e 2. In questo caso la prima linea è continua ma le altre due sono tratteggiate, dunque lasciamo lo stesso segno per l'argomento del modulo |x-1| e cambiamo il segno agli argomenti dei moduli |x-2| e |x-4|.

    \begin{cases}-(x-2)+(x-1)-2\cdot(-(4-x))-x +2 \geq 0\\ 1\leq x<2\end{cases}

    Proseguendo in questo modo otteniamo in tutto quattro sistemi diversi, discutendo tutti i casi possibili:

    x<1\ ;\ 1\leq x<2\ ;\ 2\leq x<4\ ;\ x\geq 4

    A questo punto dovrai risolvere i sistemi separatamente e, alla fine, unire tutte le soluzioni. La soluzione per questo esercizio è

    x\leq -3\ \vee\ 3\leq x\leq 7

    Se hai problemi con i conti scrivi pure!

    Risposta di Alpha
 
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