Applicazione lineare con parametro come isomorfismo

È noto che è l'applicazione lineare definita sullo spazio di polinomi e a valori in tale che

dove è un parametro reale. Viene chiesto di calcolare i valori di per cui è un isomorfismo, ossia un'applicazione lineare iniettiva e suriettiva.

In generale, un'applicazione lineare è:

- iniettiva se e solo se il nucleo di è banale, ossia ha dimensione pari a zero;

- suriettiva se e solo se l'immagine della trasformazione coincide con , cioè se e solo se la dimensione di è uguale alla dimensione dello spazio vettoriale .

Nel nostro caso, il codominio di è lo spazio vettoriale , la cui dimensione è pari a 3.

La dimensione di , invece, è uguale al rango di una delle matrici associate a rispetto a due basi qualsiasi di dominio e codominio.

Scegliamo, per semplicità, le basi canoniche di dominio e codominio e calcoliamo la matrice associata a rispetto a tali basi.

è lo spazio vettoriale dei polinomi nell'indeterminata , a coefficienti reali e di grado minore o uguale a 2; la sua base canonica è

Calcoliamo le immagini mediante dei polinomi :

Poiché la base d'arrivo è quella canonica di , la matrice che rappresenta rispetto a queste basi ha per colonne i vettori immagine calcolati, ossia

Affinché sia suriettiva la dimensione di , e quindi il rango della matrice , dev'essere uguale a 3.

è una matrice quadrata parametrica di ordine 3, per cui il suo rango è pari a 3 per tutti e soli i valori di per cui il suo determinante è diverso da zero.

applichiamo Laplace rispetto alla prima riga, in quanto ha due elementi nulli

Evidentemente il determinante di è diverso da zero per e per , e per questi valori di la trasformazione è suriettiva.

Inoltre, per il teorema della nullità più rango, in corrispondenza di questi valori di abbiamo che

pertanto è anche iniettiva e quindi è un isomorfismo.

In conclusione, è un isomorfismo per ogni .

Fine!