Soluzioni
  • È noto che f è l'applicazione lineare definita sullo spazio di polinomi \mathbb{R}_2[x] e a valori in \mathbb{R}^3 tale che

    f(p(x))=(p(0), \ p(k), \ p(1))

    dove k è un parametro reale. Viene chiesto di calcolare i valori di k per cui f è un isomorfismo, ossia un'applicazione lineare iniettiva e suriettiva.

    In generale, un'applicazione lineare f:V \to W è:

    - iniettiva se e solo se il nucleo di f è banale, ossia ha dimensione pari a zero;

    - suriettiva se e solo se l'immagine della trasformazione f coincide con W, cioè se e solo se la dimensione di \mbox{Im}(f) è uguale alla dimensione dello spazio vettoriale W.

    Nel nostro caso, il codominio di f è lo spazio vettoriale \mathbb{R}^3, la cui dimensione è pari a 3.

    La dimensione di \mbox{Im}(f), invece, è uguale al rango di una delle matrici associate a f rispetto a due basi qualsiasi di dominio e codominio.

    Scegliamo, per semplicità, le basi canoniche di dominio e codominio e calcoliamo la matrice associata a f rispetto a tali basi.

    \mathbb{R}_2[x] è lo spazio vettoriale dei polinomi nell'indeterminata x, a coefficienti reali e di grado minore o uguale a 2; la sua base canonica è

    \mathcal{C}=\{p_1(x), p_2(x), p_3(x)\} = \{1,x,x^2\}

    Calcoliamo le immagini mediante f dei polinomi p_1(x), p_2(x), p_3(x):

    \\ f(p_1(x)) = (p_1(0), \ p_1(k), \ p_1(1)) = (1,1,1) \\ \\ f(p_2(x)) = (p_2(0), \ p_2(k), \ p_2(1)) = (0,k,1) \\ \\ f(p_3(x)) = (p_3(0), \ p_3(k), \ p_3(1)) = (0,k^2,1)

    Poiché la base d'arrivo è quella canonica di \mathbb{R}^3, la matrice A_f che rappresenta f rispetto a queste basi ha per colonne i vettori immagine calcolati, ossia

    A_f=\begin{pmatrix}1&0&0 \\ 1&k&k^2 \\ 1&1&1\end{pmatrix}

    Affinché f sia suriettiva la dimensione di \mbox{Im}(f), e quindi il rango della matrice A_f, dev'essere uguale a 3.

    A_f è una matrice quadrata parametrica di ordine 3, per cui il suo rango è pari a 3 per tutti e soli i valori di k per cui il suo determinante è diverso da zero.

    \mbox{det}(A_f)=\mbox{det}\begin{pmatrix}1&0&0 \\ 1&k&k^2 \\ 1&1&1\end{pmatrix}=

    applichiamo Laplace rispetto alla prima riga, in quanto ha due elementi nulli

    = 1 \cdot \mbox{det}\begin{pmatrix}k&k^2 \\ 1&1\end{pmatrix}=k-k^2=k(1-k)

    Evidentemente il determinante di A_f è diverso da zero per k \neq 0 e per k \neq 1, e per questi valori di k la trasformazione f è suriettiva.

    Inoltre, per il teorema della nullità più rango, in corrispondenza di questi valori di k abbiamo che

    \\ \mbox{dim}(\mbox{Ker}(f)) = \mbox{dim}(\mathbb{R}_2[x]) - \mbox{dim}(\mbox{Im}(f)) = \\ \\ = 3-3=0

    pertanto f è anche iniettiva e quindi è un isomorfismo.

    In conclusione, f è un isomorfismo per ogni k \in \mathbb{R}-\{0,1\}.

    Fine!

    Risposta di Galois
 
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