Soluzioni
  • Ciao Xavier, parliamo di spazi di polinomi, corretto? f_{a} manda un polinomio nel vettore delle suddette valutazioni, giusto?

    Fammi sapere così risolviamo subito...

    Risposta di Omega
  • Si Omega; è come hai scritto tu :)

    Risposta di xavier310
  • L'applicazione

    f_{a}:\rightarrow \mathbb{R}_{2}[t]\rightarrow\mathbb{R}^3

    definita da

    f_{a}(P_{2}(t))=[p(0),p(a),p(1)]

    è un isomorfismo se scegliamo a in modo tale che l'applicazione (chiaramente) lineare sia:

    - iniettiva;

    - suriettiva;

    Premetto che sto supponendo che i polinomi siano a coefficienti reali (nel testo non è indicato). Scriviamo un polinomio generico di grado 2 nella forma

    P(x)=Ax^2+Bx+C

    come puoi facilmente notare

    P(0)=C

    P(1)=A+B

    P(a)=a^2A+aB

    vogliamo che l'immagine Im(f_{a}) abbia dimensione 3. Grazie al teorema della nullità più rango, possiamo equivalentemente chiedere che il nucleo sia banale

    ker(f_{a})=\{[0,0,0]\}

    Se imponiamo che la generica immagine di un polinomio sia identicamente nulla, avremmo

    C=0

    A+B=0

    a^2A+aB=0

    Ora segui bene il ragionamento: se a è tale che l'ultima espressione sia uguale a zero senza che A,B siano uguali a zero, allora l'applicazione non sarebbe iniettiva. L'unico modo è che a sia tale che l'ultima espressione in A,B sia nulla se e solo se A e B sono entrambi nulli.

    Attenzione: dobbiamo tenere in conto anche la seconda condizione delle tre, e grazie ad essa vediamo che l'ultima condizione rende il nucleo banale se e solo se

    a=-1

    cioè se la seconda componente dell'immagine è

    p(-1).

    In questo modo l'applicazione è iniettiva e dunque, essendo lineare tra spazi finito dimensionali, automaticamente suriettiva.

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • Ok Omega :) abbastanza chiaro. Grazie

    Risposta di xavier310
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