Condurre da un punto le tangenti ad una circonferenza

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Salve vorrei sapere come trovare le rette tangenti condotte da un punto ad una circonferenza. Mi servirebbe capire la risoluzione il seguente esercizio.

 

Dal punto (0;3) condurre le tangenti alla circonferenza col centro nell'origine e raggio 2.

Domanda di Klelia

 
Soluzioni

  • Dato che la circonferenza ha centro nell'origine e raggio 2, avrà dunque equazione

    x^2+y^2 = 4

    Scriviamo la generica equazione della retta passante per un punto di coordinate (x_0,y_0) e di coefficiente angolare m

    y-y_0 = m(x-x_0)

    nel nostro caso (x_0,y_0) = (0,3) quindi

    y = mx+3

    Ora mettiamo a sistema l'equazione della retta con l'equazione della circonferenza:

    x^2+y^2 = 4 ; y = mx+3

    troviamo, procedendo per sostituzione dalla seconda alla prima

    x^2+(mx+3)^2 = 4

    ossia

    (1+m^2)x^2+6mx+5 = 0

    La condizione di tangenza retta-circonferenza equivale al fatto che il discriminante sia nullo, il che significa: "ci sono due intersezioni che coincidono", cioè c'è un solo punto di intersezione. Il punto di tangenza.

    Poniamo il delta uguale a zero

    Δ = 36m^2-4(1+m^2)(5) = 16m^2-20 = 0

    e risolviamo questa equazione di secondo grado. I due valori di m sono i due coefficienti angolari delle rette tangenti:

    m = ±√((5)/(4))

    da cui le equazioni delle due rette

    y = ±√((5)/(4))x+3

    Namasté!

    Risposta di Omega
 
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