Soluzioni
  • Per prima cosa costruiamo la figura in cui rappresentiamo un triangolo di vertici ABC e la bisettrice dell'angolo \widehat{CAB}. Essa interseca il lato BC in un punto che indichiamo con D.

    Teorema delle bisettrici triangolo

    Il problema fornisce i seguenti dati:

    - il perimetro del triangolo che è P_{ABC}=120\mbox{ cm};

    - le lunghezze dei segmenti  BD\ \mbox{e}\ DC:

    BD=30\mbox{ cm}\ \ \ \mbox{e} \ \ \ DC=20\mbox{ cm}

    grazie ai quali possiamo agevolmente ricavare la misura di BC:

    BC=BD+DC=30\mbox{ cm}+20\mbox{ cm}=50\mbox{ cm}

    Il nostro obiettivo è determinare la lunghezza dei lati AB\ \mbox{e}\  AC avvalendoci del teorema delle bisettrici.

    Esso afferma che la bisettrice di un angolo interno di un triangolo divide il lato opposto in parti proporzionali agli altri due lati. In altri termini, sussiste la proporzione

    CD:DB=AC:AB

    Per il momento teniamo da parte questa relazione: non possiamo usarla subito perché conosciamo esclusivamente AC\ \mbox{e}\ AB (2 termini su 4, mentre per usare la proporzione ce ne servono almeno 3).

    Ci viene in soccorso il perimetro del triangolo, con cui siamo in grado di determinare la somma tra AC\ \mbox{e} \ AB: basta sottrarre la misura del segmento BC al perimetro.

    AB+AC=P_{ABC}-BC=120\mbox{ cm}-50\mbox{ cm}=70\mbox{ cm}

    Questo dato è fondamentale perché possiamo usare le proprietà del comporre alla proporzione

    CD:DB=AC:AB

    che diviene

    (CD+DB):DB=(AC+AB):AB

    Il primo estremo è noto, infatti

    CD+DB=50\mbox{ cm}

    così come sono noti il secondo medio

    AC+AB=70\mbox{ cm}

    e il segmento BD=30\mbox{ cm}, per cui, rimpiazzando i valori, ricaviamo

    50\mbox{ cm}: 30\mbox{ cm}=70\mbox{ cm}: AB

    Interviene a questo punto la proprietà fondamentale delle proporzioni, con cui calcoliamo AB

    AB=\frac{30\mbox{ cm}\times 70\mbox{ cm}}{50\mbox{ cm}}=42\mbox{ cm}

    Utilizziamo nuovamente la proprietà del comporre sulla proporzione

    CD:DB=AC:AB

    lavorando sui secondi termini dei due rapporti

    CD:(CD+DB)=AC:(AC+AB)

    Rimpiazziamo i valori noti

    20\mbox{ cm}:50\mbox{ cm}=AC:70\mbox{ cm}

    e risolviamo la proporzione in favore di AC

    AC=\frac{20\mbox{ cm}\times 70\mbox{ cm}}{50\mbox{ cm}}=28\mbox{ cm}

    Abbiamo finito.

    Risposta di Ifrit
 
MEDIEGeometriaAlgebra e Aritmetica
SUPERIORIAlgebraGeometriaAnalisiVarie
UNIVERSITÀAnalisiAlgebra LineareAlgebraAltro
EXTRAVita quotidiana
 
Esercizi simili e domande correlate
Domande della categoria Superiori-Geometria