Problema di geometria con teorema delle bisettrici

Per prima cosa costruiamo la figura in cui rappresentiamo un triangolo di vertici e la bisettrice dell'angolo . Essa interseca il lato in un punto che indichiamo con .

Il problema fornisce i seguenti dati:

- il perimetro del triangolo che è ;

- le lunghezze dei segmenti  :

grazie ai quali possiamo agevolmente ricavare la misura di :

Il nostro obiettivo è determinare la lunghezza dei lati avvalendoci del teorema delle bisettrici.

Esso afferma che la bisettrice di un angolo interno di un triangolo divide il lato opposto in parti proporzionali agli altri due lati. In altri termini, sussiste la proporzione

Per il momento teniamo da parte questa relazione: non possiamo usarla subito perché conosciamo esclusivamente (2 termini su 4, mentre per usare la proporzione ce ne servono almeno 3).

Ci viene in soccorso il perimetro del triangolo, con cui siamo in grado di determinare la somma tra : basta sottrarre la misura del segmento al perimetro.

Questo dato è fondamentale perché possiamo usare le proprietà del comporre alla proporzione

che diviene

Il primo estremo è noto, infatti

così come sono noti il secondo medio

e il segmento , per cui, rimpiazzando i valori, ricaviamo

Interviene a questo punto la proprietà fondamentale delle proporzioni, con cui calcoliamo

Utilizziamo nuovamente la proprietà del comporre sulla proporzione

lavorando sui secondi termini dei due rapporti

Rimpiazziamo i valori noti

e risolviamo la proporzione in favore di

Abbiamo finito.