Soluzioni
  • Innanzitutto abbiamo che per il teorema delle bisettrici possiamo scrivere la proporzione

    AB:BC=AD: DC

    e dunque

    AB:BC=44: 16

    Da cui segue che, applicando la proprietà fondamentale

    AB= \frac{44}{16}BC= \frac{11}{4}BC.

    Sempre da

    AB:BC=AD: DC

    Dalla proprietà del comporre delle proporzioni:

    (AB+BC):BC= 60: 16

    Ma sappiamo che AB+BC=2PA e dunque:

    2PA:BC= 60:16\implies BC= \frac{32AP}{60}=\frac{8}{15} AP

    Conoscendo il valore di BC, dipendente da AP, abbiamo anche:

    AB=\frac{11}{4}BC= \frac{11}{4} \cdot \frac{8}{15}AP= \frac{22}{15}AP

    Inoltre, sempre grazie al teorema delle bisettrici, sappiamo che:

     BC:60=PB:AP

    BC:60=PB:AP

    Ti faccio notare che AP+PB=AB, ci tornerà utile in qualche modo.

    Per la regola del comporre delle proporzioni abbiamo che:

    (BC+60):60= (PB+AP):AP

    e quindi

    (BC+60):60= AB:AP

    Sostituiamo a BC e a AB i valori ottenuti in precedenza:

    \left(\frac{8}{15}AP+60\right): 60= \frac{22}{15}AP:AP

    In pratica puoi rivedere questa proporzione, usando i simboli di frazione:

    \frac{\left(\frac{8}{15}AP+60)}{60}= \frac{ \frac{22}{15}AP}{AP}

    A questo punto, al secondo membro semplifichiamo AP, tanto è diverso da zero. Otteniamo

    \frac{\left(\frac{8}{15}AP+60)}{60}= \frac{22}{15}}

    Moltiplichiamo a croce ottenendo:

    15 \left(\frac{8}{15}AP+60\right)= 60\times 22

    facendo i conti:

    8AP+900= 1320

    AP= \frac{1320-900}{8}= \frac{105}{2}

     

    Abbiamo AP, possiamo calcolare AB e BC

    AB=\frac{22}{15} AP= \frac{22}{15}\cdot \frac{105}{2}=77\,cm

    BC= \frac{8}{15}AP= \frac{8}{15}\cdot \frac{105}{2}=28

     

    Quindi il perimetro del triangolo è dato da

    P= 77+28+60= 165 cm...

     

    Risposta di Ifrit
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