Dimensione di un sottospazio generato da vettori parametrici

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Dati tre vettori parametrici devo calcolare la dimensione e una base del sottospazio da essi generato. Potreste mostrarmi come procedere? Vi chiedo di essere quanto più dettagliati possibile nella spiegazione, perché è una tipologia di esercizi proposta sempre all'esame scritto di Algebra e Geometria.

 

Sia h un parametro reale e siano v_1, v_2, v_3 i seguenti vettori di R^3:

 

v_1 = (1,h,0) ; v_2 = (2,0,h) ; v_3 = (h,-1,1).

 

Detto V_h il sottospazio da essi generato, calcolare la dimensione e una base di V_h al variare di h ∈ R.

Domanda di peppone19

 
Soluzioni

  • Dai dati forniti dalla traccia è noto che V_h è un sottospazio vettoriale di R^3 generato dai vettori parametrici

    v_1 = (1,h,0) ; v_2 = (2,0,h) ; v_3 = (h,-1,1)

    e dobbiamo calcolarne la dimensione e una base al variare di h ∈ R.

    Per definizione di sottospazio generato, l'insieme v_1, v_2, v_3 è un sistema di generatori di V_h, dunque per trovarne una base è sufficiente estrarla da v_1, v_2, v_3.

    Tra i vari metodi di estrazione di una base da un sistema di generatori scegliamo il criterio dei minori.

    Disponiamo i vettori per colonne in una matrice

    A = [v_1 v_2 v_3] = [1 2 h ; h 0 -1 ; 0 h 1]

    A è una matrice quadrata, per cui calcoliamone il determinante con uno sviluppo di Laplace riferito alla prima colonna

    det(A) = (-1)^(1+1)·1·det[ 0 -1 ; h 1]+(-1)^(2+1)·h·det[ 2 h ; h 1] =

    Calcoliamo i determinanti delle matrici di ordine due

    = 1·(0+h)+(-h)·(2-h^2) = h-2h+h^3 = h^3-h = h(h^2-1)

    In definitiva il determinante di A è

    det(A) = h(h^2-1)

    ed è diverso da zero per h ∈ R--1, 0, 1.

    Possiamo allora asserire che questi valori di h i tre vettori sono linearmente indipendenti tra loro; di conseguenza una base di V_h è

    mathcalB_(V_h) = v_1, v_2, v_3

    e la sua dimensione è 3.

    Studiamo, ora, i casi h = -1, h = 0, h = 1.

    Dimensione e base di V_h per h = -1

    Quando h = -1 la matrice A è

    A_(h = -1) = [1 2 -1 ;-1 0 -1 ; 0 -1 1]

    Il suo determinante è uguale a zero, e il minore di ordine 2 che si ottiene eliminando la terza riga e la terza colonna è non nullo

    det[1 2 ;-1 0 ] = 0+2 = 2

    Per il criterio dei minori, le colonne di A_(h = -1) che contengono le colonne del minore non nullo formano una base di V_(-1), ossia

    mathcalB_(V_(-1)) = (1,-1,0), (2,0,-1)

    e la dimensione del sottospazio è uguale a 2.

    Dimensione e base di V_h per h = 0

    Scriviamo gli elementi della matrice A per h = 0

    A_(h = 0) = [1 2 0 ; 0 0 -1 ; 0 0 1]

    e osserviamo che ha rango 2. Una sottomatrice di ordine 2 con determinante diverso da zero è quella che si ottiene dall'eliminazione della prima colonna e della terza riga, per cui una base di V_0 è formata dalla seconda e della terza colonna di A_(h = 0)

    mathcalB_(V_0) = (2,0,0), (0,-1,1)

    e la sua dimensione è 2.

    Dimensione e base di V_h per h = 1

    Anche la matrice

    A_(h = 1) = [1 2 1 ; 1 0 -1 ; 0 1 1]

    ha rango pari a 2. Una sua sottomatrice 2×2 con determinante non nullo è quella che si ottiene dall'eliminazione della terza riga e della terza colonna, per cui una base del sottospazio V_1 è

    mathcalB_(V_1) = (1,1,0), (2,0,1)

    e anche la sua dimensione è uguale a 2.

    Abbiamo terminato!

    Risposta di Galois
 
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