Annullamento gradiente?

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Salve potreste svolgermi tutti i passaggi per trovare i valori che annullano il seguente gradiente?

 

2 sinΨ [ - sin θ ( 1 + 4 sin2 θ ) + 4 cos2 θ sin θ ]=0

2√(1 + 4 sin2 θ) cos Ψ cos θ = 0

Domanda di Danilo

 
Soluzioni

  • Eccomi, il tempo di ragionarci su e ti rispondo :)

     

    Risposta di Ifrit

  • Sealed sono tantissimi calcoli Danilo, scriverlo qui mi costerebbe un paio d'ore almeno, potresti postare la tua richiesta nel forum, magari scrivendola in latex, trovi un how to proprio nel forum, in modo che risulti chiara?

     

    In questo modo tutti gli utenti potranno leggere il tuo problema, e mediamente sono veramente disponibili e attenti.

    Risposta di Alpha

  • Riscrivo il sistema in latex

    2sin (ψ) (-sin(θ)(1+4sin^2(θ))+4cos^2(θ)sinθ) = 0 ; 2√(1+4sin^2(θ))cos(ψ)cos(θ) = 0

    probabilmente a te interessa che ψ e φ∈ [0, 2π[ giusto?

    ]

    Cominciamo con l'analizzare la seconda equazione:

    2√(1+4sin^2(θ))cos(ψ)cos(θ) = 0

    Per la legge di annullamento del prodotto, il precedente prodotto è zero se e solo se almeno uno dei fattori in gioco è zero:

    Andremo ad analizzare caso per caso:

    Caso 1:

    cos(ψ) = 0 ⇒ ψ = (π)/(2), (3π)/(2)

    Otteniamo quindi due valori per ψ:

    • ψ = (π)/(2)

    In questo caso la seconda disequazione è sicuramente soddisfatta, sostituiamo nella prima disequazione ciò che abbiamo trovato, osservando che quando ψ = (π)/(2) allora:

    sin(ψ) = sin((π)/(2)) = 1

    Grazie a questa informazione, la prima equazione si riduce a:

    2 (-sin(θ)(1+4sin^2(θ))+4cos^2(θ)sinθ) = 0 ⇒ ; 2(sin(θ)(-1-4sin^2(θ)+4cos^2(θ)) = 0

    Che è equivalente alla equazione:

    sin(θ)(-1-4sin^2(θ)+4cos^2(θ)) = 0

    Interviene nuovamente la legge di annullamento del prodotto:

    sin(θ) = 0 ∨-1-4sin^2(θ)+4cos^2(θ) = 0

    La prima equazione è di facile soluzione, infatti, sin(θ) = 0 ⇔ θ = 0, π

    Di conseguenza otteniamo i primi punti che annullano il gradiente:

    P_1(0, (π)/(2)), qquad P_2(π, (π)/(2))

    Concentriamoci ora con l'equazione

    -1-4sin^2(θ)+4cos^2(θ) = 0

    Ricordando che

    cos^2(θ) = 1-sin^2(θ)

    la precedente equazione diventa:

    -1-4sin^2(θ)+4-4sin^2(θ) = 0 ⇒ 3-4sin^2(θ) = 0

    Da cui:

    sin^2(θ) = (3)/(4) ⇒ sin(θ) = (√(3))/(2)

    Quindi θ = (π)/(3), (2)/(3)π

    Otteniamo altri due punti in cui il benedetto gradiente si annulla:

    P_3((π)/(3),(π)/(2)) qquad qquad P_4((2)/(3)π,(π)/(2)).

     

    Questa è la prima parte. Fino ad ora hai riscontrato problemi?

    Risposta di Ifrit
 
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