Soluzioni
  • Vogliamo risolvere la disequazione fratta

    \frac{1}{1-x}+2\geq\frac{3+x}{2-2x}

    e, per procedere, portiamo tutto al primo membro

    \frac{1}{1-x}+2-\frac{3+x}{2-2x}\geq 0

    Facciamo in modo di ridurci ad una singola frazione algebrica, per cui calcoliamo il denominatore comune. Prima però effettuiamo un raccoglimento a fattor comune:

    \frac{1}{1-x}+2-\frac{3+x}{2(1-x)}\geq 0

    Procediamo

    \frac{2+4(1-x)-(3+x)}{2(1-x)}\geq 0

    Esattamente come ho appena scritto, in generale ti consiglio di fare buon uso delle parentesi onde evitare errori di distrazione sui segni. ;)

    \frac{2+4-4x-3-x}{2(1-x)}\geq 0

    Da cui

    \frac{-5x+3}{2(1-x)}\geq 0\ \ \ (\bullet)

    Ora passiamo a studiare separatamente il segno di numeratore e denominatore. Indipendentemente da tutto, per studiarne i segni cerchiamo di capire per quali valori di x essi sono rispettivamente maggiore-uguale a zero e maggiore di zero.

    Qui siamo fortunati perché lo studio si riduce a due semplici disequazioni di primo grado

    \\ N\geq 0)\ \ \ -5x+3\geq0\ \to\ x\leq \frac{3}{5}\\ \\ \\ D>0)\ \ \ 2(1-x)>0\ \to\ 1-x>0\ \to\ x<1

    Non ci resta che disegnare il grafico dei segni ed individuare l'insieme delle soluzioni, ossia le x per cui il rapporto è maggiore o uguale a zero, come richiesto in (•).

    Le soluzioni sono date da

    x\leq \frac{3}{5}\ \vee\ x>1

    Nota: per ripassare il metodo generale ti rimando alla lezione che ho linkato inizialmente. ;)

    Risposta di Omega
 
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