Soluzioni
  • Eccomi! Ciao, il tempo di scrivere la risposta e sono da te ;)

    Risposta di Ifrit
  • La funzione

    f(x)= 2-\log_{\frac{1}{2}}(x+1)

    ha per dominio x>-1.

    Questo perché il logaritmo pretende che il suo argomento sia maggiore di zero, quindi otterrai la disequazione

    x+1>0\implies x>-1


    Per il grafico intuitivo, è sufficiente seguire i passaggi:

    • considerare la funzione \log_{\frac{1}{2}}(x), nel piano cartesiano. Questo grafico deve  essere noto e lo trovi qui: funzione logaritmica con base tra 0 e 1.

    • Traslare orizzontalmente il grafico precedente di una unità (dovuto al fatto che hai x+1 nell'argomento del logaritmo)

    • Effettuare una riflessione rispetto all'asse X, o in parole povere ribaltare il grafico, questo è dovuto al al segno meno davanti al logaritmo.

    • Traslare verticalmente di due unità il grafico precedentemente ottenuto (dovuto a 2).

    Fine! Per avere una conferma riguardo a ciò che disegnerai, puoi usare il tool per il grafico di funzione online.

     


     

    Per la seconda parte della domanda, ricordiamo cos'è la controimmagine di un insieme tramite la funzione f:


    f^{-1}(B):=\left\{x\in \mox{Dom}(f): f(x)\in B\right\}

    f^{-1}(B) è l'insieme degli elementi del dominio, la cui immagine sta in B.

    Nel nostro caso:

    f^{-1}(B):=\left\{x\in \mox{Dom}(f): 2-\log_{\frac{1}{2}}(x+1)\in (-\infty, 2)\right\}


    La condizione:

    2-\log_{\frac{1}{2}}(x+1)\in (-\infty, 2)

    Tale condizione si traduce in un sistema di disequazioni.

    Quindi dobbiamo risolvere

    2-\log_{\frac{1}{2}}(x+1)<2

    si tratta di una disequazione logaritmica

    -\log_{\frac{1}{2}}(x+1)<0

    Da cui:

    \log_{\frac{1}{2}}(x+1)>0

    cioè

    x+1<1

    dunque x deve essere minore di 0.

    Dunque:

    f^{-1}((-\infty, 2))= (-1, 0)

     

     

     

    Risposta di Ifrit
MEDIEGeometriaAlgebra e Aritmetica
SUPERIORIAlgebraGeometriaAnalisiVarie
UNIVERSITÀAnalisiAlgebra LineareAlgebraAltro
EXTRAVita quotidiana
Esercizi simili e domande correlate
Domande della categoria Uni-Senza categoria