Come distinguere che formula di derivazione usare?

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Non riesco a capire quando bisogna usare la formula di derivazione del prodotto e quando quella della funzione composta...

Ad esempio nella funzione e^x*(x-2) come faccio a sapere se devo usare quella del prodotto oppure l'altra???non capisco Frown

Domanda di Nicole

 
Soluzioni

  • Arrivo subito Nicole, solo non riesco a capire qual è la funzione:

     

    è questa:

     

    e^(x)(x-2)

     

    oppure questa?

     

    e^(x(x-2))

    Risposta di Alpha

  • la prima :)

    Risposta di Nicole

  • Benissimo! Come leggi quell'espressione? Leggerla bene ti aiuterà moltissimo, io la leggo:

     

    e alla x per x meno 2.

     

    Se leggi per allora è un prodotto! Dunque si applica la seguente formula:

     

    D(u·v) = (Du)·v+u·(Dv)

     

    nel nostro caso:

     

    D(e^x(x-2)) = (D e^x)·(x-2)+e^x·(D(x-2)) =

     

    = e^x (x-2)+e^x = e^x(x-2+1) = e^x(x-2)

     

    Infatti la derivata di ex è proprio ex , mentre la derivata di x-2 è 1.

     

    Quindi il punto è: se c'è un prodotto usa la formula per il prodotto, se invece ci sono più funzioni allora dovrai derivare la funzione composta, ad esempio

     

    D(log(x^2))

     

    è una funzione composta perché c'è il logaritmo e il suo argomento non è la sola x, bensì x2 . Quale derivare per prima? Segui la freccia:

     

    overrightarrowlog(x^2)

     

    prima derivi il log(x2) pensando a x2  come se fosse y, poi derivi x2:

     

    D(log(x^2)) = (1)/(x^2)·2x = (2x)/(x^2) = (2)/(x)

    Risposta di Alpha

  • Penso di aver capito... per favore mi puoi fare l'esempio anche con la funzione e^{senx}(cosx+senx)? mi viene un risulatato tutto sbagliato...

    Risposta di Nicole

  • Ah ma tu con "log" intendi il logaritmo naturale??

    Risposta di Nicole

  • si si, tra l'altro complimenti per la foto! Wink

     

    La derivata di

     

    e^(x)(cos x+sin x)

     

    è la derivata di un prodotto:

     

     

    D(e^(x)(cos x+sin x)) = e^(x)(cos x+sin x)+e^x(-sin x+cos x) =

     

    = e^x(cos x+sin x-sin x+cos x) = e^x(2cos x) = 2e^xcos x

     

    ti torna?

    Risposta di Alpha

  • grazie :D

    comunque è e^senx, non e^x...comunque per il resto io avevo fatto uguale, infatti mi veniva 2e^{senx}(cosx)

    ma ti scrivo il risultato che mette il mio libro:

    D: e^{senx}(cosx+senx)=e^{senx}(cos^2x+senxcosx-senx+cosx)

    non capisco il senso di tutta sta roba...

    Risposta di Nicole
 
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