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  • Arrivo xavier310...

    Risposta di Alpha
  • Provo a darti una definizione equivalente e a fare un esempio:

     

    Un sottospazio affine può essere descritto da un punto A e da una direzione. Tale direzione sarà definita su una base (u1,...,uk) nel modo seguente:

     

    \mathcal{F}=\{M\in\mathbb{E}\colon \overrightarrow{AM}=\sum\lambda_iu_i\}

     

    Dove E è lo spazio affine.

    Parlando in termini di coordinate abbiamo

     

    \left\{\begin{matrix}x_1=a_1+\lambda_1 u_{11}+\cdots +\lambda_k u_{1k}\\\vdots\\x_n=a_n+\lambda_1 u_{n1}+\cdots +\lambda_k u_{nk}\end{matrix}

     

    Queste sono proprio le equazioni parametriche del sottospazio, dove (a1,..,an) sono le coordinate del punto A.

     

    Consideriamo, ad esempio, il segmento congiungente due punti distinti A e B dello spazio affine, le sue equazioni parametriche sono date da

     

    \left\{\begin{matrix}x_1=a_1+\lambda (b_1-a_1)\\\vdots\\x_n=a_n+\lambda (b_n-a_n)\end{matrix}

     

    Un altro esempio potrebbe essere il piano passante per tre punti X0=(x0,y0,z0), X1=(x1,y1,z1), X2=(x2,y2,z2), le sue equazioni paramentriche sono date, in forma matriciale, da

     

    \left(\begin{matrix}x\\y\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}x_0\\y_0\\z_0\end{matrix}\right)+s\left(\begin{matrix}x_1-x_0\\y_1-y_0\\z_1-z_0\end{matrix}\right)+t\left(\begin{matrix}x_2-x_0\\y_2-y_0\\z_2-z_0\end{matrix}\right)

     

     

     

    Risposta di Alpha
  • Non ho ben chiaro il concetto di direzione.

    Cioè \lambda_1 ,..., \lambda_k possono considerarsi una soluzione particolare del sistema Ax=b associato? Ossia del sottospazio affine?

    E il punto A a chi appartiene?

     

    Risposta di xavier310
  • Il punto A appartiene alla spazio affine e definisce il sottospazio, quindi appartiene al sottospazio, i λisono esattamente i parametri s e t nel secondo esempio e il parametro λ nel primo.

    Risposta di Alpha
  • Ritornando alla definizione: Se L è l’insieme dei punti P \in \mathbb{R}^3 della forma P=P_0+Bt Al variare di t \in \mathbb{R}^q, dove P_0 \in \mathbb{R}^3 e B \in M_3_,_q(\mathbb{R}) diremo che essa è un’equazione parametrica per LIn questo caso \mathbb{R}^3 è il sottospazio affine? E il punto P coincide Con A del tuo esempio? E non riesco a capire perchè B \in M_3_,_q(\mathbb{R})? E collegandomi ai tuoi esempi con che cosa coincide B?
    Risposta di xavier310
  • Il sottospazio è L, P0 coincide con A e la matrice è M3,q perché L sta in R3!

    Risposta di Alpha
  • Scusami. Riscrivo in modo più corretto la mia ultima domanda:

    Ritornando alla definizione:

    Se L è l’insieme dei punti P \in \mathbb{R}^3 della forma

    P=P_0+Bt

    Al variare di t \in \mathbb{R}^q, dove P_0 \in \mathbb{R}^3 e B \in M_3_,_q(\mathbb{R}) diremo che essa è un’equazione parametrica per L

    - In questo caso mathbb{R}^3 è il sottospazio affine? E il punto P_0 \in \mathbb{R}^3 coincide Con A del tuo esempio?

    - E non riesco a capire perchè B in M_3_,_q(mathbb{R})? E collegandomi ai tuoi esempi con che cosa coincide B?

     

     

    Risposta di xavier310
  • Ok. Ma perchè B è una matrice? Potresti ricollegarlo ai due esempi fatti inizialmente da te?

    Risposta di xavier310
  • Anche i vettori colonna sono matrici! nel primo caso parametrizzando una retta t stava in R1 , dunque la matrice che cerchi è il vettore colonna che leggi nell'esempio a moltiplicare λ, cioè

     

    {(a1-b1),...,(an-bn)}

     

    Nel secondo esempio avevamo un piano, in questo caso il vettore t dovrà stare in R2 ed è esattamente il vettore di coordinate (s,t) che leggi nell'esempio. La matrice è quella che ha come colonne i vettori che moltiplicano s e t.

     

     

    Risposta di Alpha
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