Soluzioni
  • Bellissima domanda! :)

    Tutto il problema sta in una finezza: ∞ non è un numero naturale, ma è l'estremo superiore dell'insieme dei numeri naturali, cioè un valore tale che per ogni numero naturale n si ha:

    n<\infty

    ma tale che

    \infty\not\in\mathbb{N}

    Dunque non è possibile sommare 1 ad infinito semplicemente perché ∞ non è un numero naturale.

    Per definizione di estremo superiore, (trovi i dettagli in questa lezione), non può esistere un elemento dell'insieme più grande dell'estremo superiore dell'insieme stesso.

    Ora dicendo

    |\mathbb{Z}|>|\mathbb{N}|

    cioè che la cardinalità dell'insieme dei numeri relativi (il numero di elementi che appartengono agli interi), è maggiore della cardinalità dell'insieme dei naturali. In realtà non è così, infatti sia i numeri interi che i naturali hanno cardinalità del numerabile.

    Si dice che un insieme ha cardinalità numerabile se ha la stessa cardinalità dei numeri naturali, quindi i numeri naturali, per definizione, sono un insieme numerabile. Esiste un importantissimo teorema che cito di seguito.

    Teorema (primo teorema di Cantor):

    L'unione di una quantità finita o numerabile di insiemi finiti o numerabili è un insieme di potenza al più numerabile.

    Se diamo per buono questo teorema è immediatamente dimostrato che anche l'insieme Z ha cardinalità del numerabile, infatti:

    \mathbb{Z}=-\mathbb{N}\cup \{0\}\cup\mathbb{N}

    Cioè l'insieme dei numeri interi è dato dall'unione di due insiemi numerabili (-N e N) e un insieme di cardinalità 1: {0} è formato da un solo elemento.

     

    Risposta di Alpha
  • Io sin da piccolo, pensavo che l'infinito fosse un numero in continuo ingrandimento infatti alle medie con gli interi e i naturali ho ipotizzato che i due insiemi fossero nati insieme. Quindi due insiemi, di cui uno sottoinsieme dell' altro fossero per certo uno il doppio dell' altro, come due torri (una con esponente negativo e una positiva) una sopra l'altra (formano gli interi) che ogni giorno si alzano di un piano.

    Comunque grazie per la spiegazione, sei stato chiarissimo!

    Risposta di jr.27
  • Figurati...allora mi permetto di provocarti: anche l'insieme dei numeri razionali ha cardinalità del numerabile.

    Pensa che cosa sconvolgente: :) ti sto dicendo che l'insieme di tutte le frazioni con numeratore e denominatore interi, cioè

    \{\frac{p}{q}\colon p\in\mathbb{Z}\wedge q\in\mathbb{N}\setminus\{0\}\}

    hanno la stessa cardinalità dei naturali!

    Risposta di Alpha
 
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