Soluzioni
  • Come prima cosa disegniamo una corona circolare, che è la parte di piano compresa tra le due circonferenze di raggio r,R.

     

    Corona circolare

     

    Dette C_r la circonferenza interna di raggio r e C_R la circonferenza esterna di raggio R, il problema ci dice che la somma delle lunghezze delle circonferenze che delimitano la corona circolare è uguale a 6,28 centimetri

    2p_{C_r}+2p_{C_R}=6,28 \ \mbox{cm}

    e che il loro rapporto è \frac{21}{29}.

    Essendo ovviamente 2p_{C_R} > 2p_{C_r}, si ha che

    \frac{2p_{C_r}}{2p_{C_R}}=\frac{21}{29}

    che possiamo riscrivere come

    2p_{C_r}=\frac{21}{29}2p_{C_R}

    Una volta esplicitati i dati, per trovare la lunghezza delle due circonferenze, possiamo procedere in due modi.

    Risoluzione del problema con le equazioni

    Sfruttando le equazioni, sostituiamo la seconda relazione

    2p_{C_r}=\frac{21}{29}2p_{C_R}

    nella prima

    2p_{C_r}+2p_{C_R}=6,28 \ \mbox{cm}

    e ricadiamo in un'equazione di primo grado

    \underbrace{\frac{21}{29}2p_{C_R}}_{2p_{C_r}}+2p_{C_R}=6,28 \ \mbox{cm}

    Da qui, dopo aver eseguito la somma a primo membro (basta sapere come si esegue la somma tra frazioni), si ha

    \frac{50}{29}2p_{C_R}=6,28 \ \mbox{cm}

    ossia

    2p_{C_R}=6,28 \cdot \frac{29}{50} = 3,6424 \ \mbox{cm}

    e di conseguenza

    2p_{C_r}=\frac{21}{29}2p_{C_R}=\frac{21}{29}\cdot 3,6424 = 2,6376 \ \mbox{cm}

    Risoluzione del problema con il metodo grafico

    Procediamo come nei problemi sui segmenti con somma e rapporto.

    Ci basta cioè disegnare un segmento che rappresenta 2p_{C_R} e dividerlo in 29 parti uguali (tante quante quelle del denominatore). Il segmento che rappresenta 2p_{C_r} sarà pari a 21 di queste parti uguali. Lascio a te il compito di farti la rappresentazione grafica.

    Avendo un totale di 21+29=50 pezzi la cui somma misura 6,28 centimentri, si ha che un singolo pezzettino misurerà

    6,28 : 50 = 0,1256 \ \mbox{cm}

    e di conseguenza

    2p_{C_R}=29 \cdot 0,1256 = 3,6424 \ \mbox{cm}

    2p_{C_r}=21 \cdot 0,1256 = 2,6376 \ \mbox{cm}

    Come puoi vedere abbiamo ottenuto gli stessi risultati.

    Conclusione dello svolgimento

    Arrivati a questo punto, indipendentemente dal metodo scelto, conosciamo la misura del perimetro delle due circonferenze. Applicando le formule sulla circonferenza possiamo allora trovare il raggio delle due circonferenze:

    r=2p_{C_r}:\pi = 2,6376:3,14 = 0,84 \ \mbox{cm}

    R=2p_{C_R}:\pi = 3,6424 : 3,14 = 1,16 \ \mbox{cm}

    dove al posto di Pi Greco abbiamo sostituito il valore approssimato \pi \simeq 3,14.

    Infine, avendo trovato il raggio delle due circonferenze possiamo trovare l'area della corona circolare:

    A_{corona} = \pi(R^2-r^2)\simeq 19,81 \ \mbox{cm}^2

    Fine!

    Risposta di Ifrit
 
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