Lunghezze e area di una corona circolare

La somma delle lunghezze che delimitano una corona circolare è 6.28 cm e il loro rapporto è 21/29. Calcola l'area della corona.

Come lo risolvo? Grazie mille!

Domanda di ANTO87

Soluzioni

Ciao Anto87 ;)
Come prima cosa disegniamoci una corona circolare (- click per tutte le formule) che è la parte di piano compresa tra le due corconferenze di raggio $r \mbox{ e } R$ .

Dette la circonferenza interna di raggio e la circonferenza esterna di raggio , il problema ci dice che:
la somma delle lunghezze che delimita la corona è uguale a 6,28 centimetri, ovvero
$2p_{C_r}+2p_{C_R}=6,28 \ \mbox{cm}$
e che il loro rapporto è $\frac{21}{29}$ . Essendo, ovviamente
$2p_{C_R} > 2p_{C_r}$ si ha che
$\frac{2p_{C_r}}{2p_{C_R}}=\frac{21}{29}$
che possiamo riscrivere come
$2p_{C_r}=\frac{21}{29}2p_{C_R}$

Una volta esplicitati i dati, per trovare la lunghezza delle due circonferenze, possiamo procedere in due modi.
1) Sfruttado le equazioni.
Sostituendo la seconda relazione
$2p_{C_r}=\frac{21}{29}2p_{C_R}$
nella prima
$2p_{C_r}+2p_{C_R}=6,28 \ \mbox{cm}$
ricadiamo in un'equazione di primo grado
$\underbrace{\frac{21}{29}2p_{C_R}}_{2p_{C_r}}+2p_{C_R}=6,28 \ \mbox{cm}$
da cui, dopo aver eseguito la somma a primo membro (basta sapere come si esegue la somma tra frazioni) si ha
$\frac{50}{29}2p_{C_R}=6,28 \ \mbox{cm}$
ovvero
$2p_{C_R}=6,28 \cdot \frac{29}{50} = 3,6424 \ \mbox{cm}$
e, di conseguenza
$2p_{C_r}=\frac{21}{29}2p_{C_R}=\frac{21}{29}\cdot 3,6424 = 2,6376 \ \mbox{cm}$

2) Procedendo come nei problemi sui segmenti con somma e rapporto - click!
Ci basta cioè disegnare un segmento che rappresenta $2p_{C_R}$ e dividerlo in 29 parti uguali (tante quante quelle del denominatore). Il segmento che rappresenta $2p_{C_r}$ sarà pari a 21 di queste parti uguali. Lascio a te il compito di farti la rappresentazione grafica.
Avendo un totale di 21+29=50 pezzi la cui somma misura 6,28 centimentri si ha che un singolo pezzettino misurerà
$6,28 : 50 = 0,1256 \ \mbox{cm}$
e di conseguenza
$2p_{C_R}=29 \cdot 0,1256 = 3,6424 \ \mbox{cm}$
$2p_{C_r}=21 \cdot 0,1256 = 2,6376 \ \mbox{cm}$
Come puoi vedere abbiamo ottenuto gli stessi risultati.

Arrivati a questo punto, indipendentemente dal metodo scelto, conosciamo la misura del perimetro delle due circonferenze. Applicando le formule sulla circonferenza possiamo allora trovare il raggio delle due circonferenze:
$r=2p_{C_r}:\pi = 2,6376:3,14 = 0,84 \ \mbox{cm}$
$R=2p_{C_R}:\pi = 3,6424 : 3,14 = 1,16 \ \mbox{cm}$
dove al posto di Pi Greco abbiamo sostituito il valore approssimato $\pi \simeq 3,14$

Infine, avendo trovato il raggio delle due circonferenze possiamo trovare l'area della corona circolare:
$A_{corona} = \pi(R^2-r^2)\simeq 19,81 \ \mbox{cm}^2$
Risposta di Alpha