Soluzioni
  • L'area di una corona circolare è la misura della superficie della parte di piano compresa tra le due circonferenze concentriche che la delimitano. Si calcola moltiplicando Pi Greco per la differenza tra il quadrato del raggio della circonferenza esterna e il quadrato del raggio della circonferenza interna.

     

    Area corona circolare

    Area corona circolare = π(R2-r2)

     

    I raggi R, r della circonferenza esterna e di quella interna vengono detti raggi della corona circolare, e più precisamente:

    R prende il nome di raggio esterno;

    r si dice raggio interno.

    Formula area corona circolare

    Una corona circolare è la parte di piano limitata da due qualsiasi circonferenze che hanno lo stesso centro. Se indichiamo con R il raggio esterno, con r il raggio interno e con \pi la costante Pi Greco, l'area della corona circolare (A) si calcola nel modo seguente:

    A=\pi(R^2-r^2)

    Per capire da dove deriva questa formula facciamo riferimento alla precedente immagine e osserviamo che l'area della corona circolare è uguale alla differenza tra l'area del cerchio esterno e l'area del cerchio interno.

    In generale l'area di un cerchio è uguale al prodotto tra la costante Pi Greco e il quadrato della misura del raggio:

    • il cerchio esterno della corona circolare ha raggio R, per cui

    \mbox{Area cerchio esterno} = \pi R^2

    • il cerchio interno ha raggio r, dunque

    \mbox{Area cerchio interno} = \pi r^2

    Per determinare l'area della corona circolare ci basta quindi calcolarne la differenza:

    \\ A=\mbox{Area cerchio esterno} - \mbox{Area cerchio interno} = \\ \\ = \pi R^2 - \pi r^2 =

    raccogliamo a fattor comune \pi

    =\pi(R^2-r^2)

    e otteniamo proprio la formula dell'area della corona circolare

    A=\pi (R^2-r^2)

    Esercizi svolti sull'area della corona circolare

    Vediamo qualche problema svolto sul calcolo dell'area di una corona circolare per prendere confidenza con la formula.

    Prima di procedere precisiamo che negli esercizi si può scegliere di sostituire la costante Pi Greco con il suo valore approssimato alla seconda cifra decimale (\pi \simeq 3,14), oppure di lasciarla indicata con il suo simbolo (\pi).

    1) Il raggio della circonferenza esterna e della circonferenza interna di una corona circolare misurano, rispettivamente, 1,8 metri e 1,5 metri. Calcolare l'area della corona circolare.

    Svolgimento: poiché conosciamo la misura del raggio della circonferenza esterna

    R = 1,8 \mbox{ m}

    e la misura del raggio della circonferenza interna

    r = 1,5 \mbox{ m}

    applichiamo subito la formula dell'area della corona circolare

    A=\pi (R^2-r^2)= \pi \cdot [(1,8 \mbox{ m})^2 - (1,5 \mbox{ m})^2]=

    Calcoliamo i quadrati

    =\pi \cdot (3,24 \mbox{ m}^2 - 2,25 \mbox{ m}^2) =

    svolgiamo la sottrazione

    =\pi \cdot 0,99 \mbox{ m}^2= 0,99 \pi \mbox{ m}^2

    e otteniamo che l'area della corona circolare è di 0,99π metri quadrati

    A=0,99 \pi \mbox{ m}^2

    Da ultimo, se scegliamo di sostituire Pi Greco con la sua approssimazione (\pi \simeq 3,14) ricaviamo che l'area della corona circolare è di circa 3,1 metri quadrati

    A=0,99 \pi \mbox{ m}^2 \simeq (0,99 \cdot 3,14) \mbox{ m}^2 = 3,1086 \mbox{ m}^2

    2) Una corona circolare ha il diametro esterno di 20 cm e il diametro interno di 12 cm. Qual è la sua area?

    Svolgimento: indichiamo con D il diametro esterno e con d quello interno. Dai dati forniti dalla traccia è noto che

    \\ D = 20 \mbox{ cm} \\ \\ d=12 \mbox{ cm}

    Il diametro di una circonferenza è il doppio del raggio, per cui la misura del raggio esterno della corona circolare è di 10 centimetri

    R=\frac{D}{2} = \frac{20 \mbox{ cm}}{2} = 10 \mbox{ cm}

    mentre il raggio interno misura 6 centimetri

    r=\frac{d}{2} = \frac{12 \mbox{ cm}}{2} = 6 \mbox{ cm}

    Ora abbiamo tutto quello che serve per calcolare l'area della corona circolare

    \\ A=\pi (R^2-r^2)= \pi \cdot [(10 \mbox{ cm})^2 - (6 \mbox{ cm})^2]= \\ \\ = \pi \cdot (100 \mbox{ cm}^2 - 36 \mbox{ cm}^2) = \\ \\ = \pi \cdot 64 \mbox{ cm}^2 = 64\pi \mbox{ cm}^2 \simeq

    sostituiamo Pi Greco con la sua approssimazione

    \simeq (64 \cdot 3,14) \mbox{ cm}^2 = 200,96 \mbox{ cm}^2

    e abbiamo finito: l'area della corona circolare è di 64π cm2, che equivalgono a circa 200,96 cm2.

    3) Calcola l'area di una corona circolare sapendo che l'area del cerchio esterno è di 33,64π centimetri quadrati e che la circonferenza interna misura 4,8π centimetri.

    Svolgimento: dalla lunghezza della circonferenza interna

    L=4,8\pi \mbox{ cm}

    calcoliamo la misura del suo raggio dividendo la lunghezza della circonferenza per 2π

    r=\frac{L}{2\pi} = \frac{4,8\pi \mbox{ cm}}{2\pi} = 2,4 \mbox{ cm}

    A questo punto troviamo l'area del cerchio interno

    \mbox{Area cerchio interno} = \pi r^2 = \pi \cdot (2,4 \mbox{ cm})^2 = 5,76 \pi \mbox{ cm}^2

    e quindi l'area della corona circolare come differenza tra l'area del cerchio esterno (fornita dalla traccia) e quella del cerchio interno

    \\ A=\mbox{Area cerchio esterno} - \mbox{Area cerchio interno} = \\ \\ = 33,64 \pi \mbox{ cm}^2 - 5,76 \pi \mbox{ cm}^2 = 27,88 \pi \mbox{ cm}^2

    In alternativa, avremmo potuto calcolare la misura del raggio del cerchio esterno dall'area

    \\ R=\sqrt{\frac{\mbox{Area cerchio esterno}}{\pi}} = \sqrt{\frac{33,64 \pi \mbox{ cm}^2}{\pi}} = \\ \\ = \sqrt{33,64 \mbox{ cm}^2} = 5,8 \mbox{ cm}

    e successivamente determinare l'area della corona circolare con la consueta formula

    \\ A=\pi (R^2-r^2)= \pi \cdot [(5,8 \mbox{ cm})^2 - (2,4 \mbox{ cm})^2]= \\ \\ = \pi \cdot (33,64 \mbox{ cm}^2 - 5,76 \mbox{ cm}^2) = \\ \\ = \pi \cdot 27,88 \mbox{ cm}^2 = 27,88\pi \mbox{ cm}^2

    ***

    Ci fermiamo qui. Per tutte le formule della corona circolare, comprese le formule inverse dell'area, ti rimandiamo al formulario del link

    Ti segnaliamo inoltre il tool per risolvere la corona circolare online, in cui basta inserire le misure dei raggi per avere perimetro e area in un click!

    Risposta di Galois
 
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