Perché questa equazione trascendente ha soluzioni?

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Ciao, come faccio a risolvere questo esercizio sulle equazioni trascendenti?

 

x^2 - sen(x) - 1 = 0 ha soluzioni appartenenti all'intervallo [-pi,+pi] perché?

Domanda di pinguino92

 
Soluzioni

  • Ciao pinguino82, arrivo a risponderti!

    Risposta di Alpha

  • La tua richiesta non è molto chiara, vuoi risolvere l'equazione o capire perché ha soluzioni in [-π,π]? L'equazione ha soluzioni in questo intervallo per una scelta arbitraria: il seno è una funzione periodica di periodo 2π, dunque tra -π e π stiamo considerando un intero periodo della funzione seno, avremmo potuto considerare equivalentemente le soluzioni tra 0 e 2π...

    Risposta di Alpha

  • ok ma nn capisco perchè questa ha soluzione nell'intervallo -pgreco,pgreco mentre l'equazione x^2-sen(x)+2=0 nn ha soluzione reali :s

    Risposta di pinguino92

  • L'equazione ha soluzioni reali. Se le calcoli esplicitamente ottieni:

     

    x = -0.636733

     

    e

     

    x = 1.40962

     

    Come vedi queste soluzioni sono comprese tra -π e π. 

    Ora, non credo che il tuo esercizio fosse calcolare eplicitamente le soluzioni dell'equazione, ma basta ricordare che il seno assume valori tra -1 e 1, cioè

     

    -1 ≤ sin x ≤ 1

     

    La tua equazione ci dice che

     

    sin x = x^2-1

     

    Quindi dovremo avere che

     

    -1 ≤ x^2-1 ≤ 1

     

    cioè

     

    x^2-1 ≥ -1 ; x^2-1 ≤ 1

     

    x^2 ≥ 0 ; x^2 ≤ 2

     

    La prima equazione è sempre vera, la seconda ha soluzioni

     

    -√(2) ≤ x ≤ √(2)

     

    dunque le soluzioni devono appartenere all'intervallo

     

    [-√(2),√(2)]

     

    A maggior ragione saranno comprese tra -π e π, infatti

     

    [-√(2),√(2)] ⊂ [-π,π]

     

     

     

    Risposta di Alpha

  • ok grazie!

    Risposta di pinguino92
 
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