Soluzioni
  • Ciao Povi, provo a intepretare un pochino, ti chiedo solo di chiarire alcune cose, in modo da poterti rispondere meglio:

    1) suppongo che I sia l'insieme degli indici e S sia l'insieme dove la successione prende i suoi valori, allora puoi associare un indice ad ogni valore della successione, in modo da ordinarla. Quindi la tua applicazione associa un elemento dell'insieme degli indici a un elemento della successione, cioè stai considerando la mappa

    f:I→S

    tale che

    f(i)=a i

    2) per il secondo punto, se I=N cioè all'insieme dei numeri naturali si può applicare lo stesso ragionamento, la scrittura

    a n =b n =x n

    in effetti è abbastanza misteriosa...quindi ti chiedo di provare a rileggere gli appunti in modo da darmi qualche informazione aggiuntiva. La scrittura (a n) n ∈N significa che l'insieme degli indici della tua successione è proprio quello dato dai numeri naturali.

    3) Questo punto è chiaro, k: N→N e f: N→R, ora è possibile comporre queste due applicazioni, l'unico modo possibile (per come sono definite) è applicare prima k poi f, cioè

    (f o k)(n)=f(k(n))

    Ora se chiamiamo a n i valori assunti in R da f (possiamo farlo perché l'applicazione è definita in N, quindi possiamo associare un numero naturale a ogni valore assunto dalla funzione), quando semplicemente chiamiamo a kn i valori f(k(n)). In sostanza il problema, se ho ben capito è di notazione.

    Per qualunque cosa siamo qui.

    Alpha

    Risposta di Alpha
  • Grazie per avermi risposto. In effetti il problema è proprio di notazione. Riguardo all'ultimo punto forse mi sono sbaglio a spiegare. Cerco di scrivere meglio i miei appunti :

    prendiamo f:N-->S e consideriamo f:k(n)=fkn =akn

    f o k è la sottosuccessione della successione f oppure an :

    è la composizione tra f che da una successione, e una qualsiasi f che ha la properità di essere strettamente crescente.

    Con K: N-->N associa n a 2n quindi

    (fok)=2an

    Ora io non riesco a capire che c'entra an con fok  e il significato di 

    f:k(n)=fkn =akn

    Forse c'è qualche passaggio saltato?

    Risposta di povi
  • Provo a risponderti con un esempio, purtroppo decifrare gli appunti alle volte può essere davvero difficile, basta aver copiato male un paio di parentesi per perdere un sacco di tempo!

    Consideriamo la successione a n definita in questo modo:

    f(n)=a n =n/(n+1)

    Ora, come nel tuo caso consideriamo la funzione k:N→N tale che f(n)=2n , in sostanza la moltiplicazione per 2. Anche questa applicazione definisce una successione: quella dei numeri pari.

    Ora scriviamo tutte le successioni in gioco esplicitamente

    f(1)=1/2      f(2)=2/3       f(3)=3/4 ....

     

    k(1)=2        k(2)=4          k(3)=6 ....

    Se componiamo f e k, prima k e poi f abbiamo

    f(k(n))=f(2n)=2n/(2n+1)=a 2n=ak(n)

    La nuova successione ha valori

    f(k(1))=f(2)    f(k(2))=f(4)     f(k(3))=f(6) ....

    quindi di fatto abbiamo estratto una sottosuccessione, cioè abbiamo definito tramite la composizione di funzioni una sottosuccessione che possiamo chiamare (a ) kn.

    Alpha.

    Risposta di Alpha
 
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