esercizio relazione equivalenza e applicazione biettiva

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Mi aiutate per favore? =(
Per ogni x appartenente all’insieme X = {x€N : 0 ≤ x ≤ 1000} si indichi con C(x) l’insieme
delle cifre di x in notazione decimale (p.e. C(10) = {0,1} = C(100), C(11) = {1}).
i) Si verifichi che la relazione così definita in X:
xR y  C(x) = C(y)
è di equivalenza, e si determinino le classi [1], [0], [21].
ii) Posto Y = { x€N : 0≤ x≤9}, sia W l’insieme delle parti non vuote di Y di ordine minore o
uguale a 3.
Verificare che ha senso definire l’applicazione
F: [x]€ X/R---> C(x)€W
e che tale applicazione è biettiva. Dedurne che X/R è costituito da esattamente (10)+(10)+(10)       (non ho capito che significa scritto in questo modo..)                                       ( 1 )  ( 2 )  ( 3 )
                                                                                                                  
classi di equivalenza.
__________________________________________________________________________________
le classi di [1][0][21] le ho sapute fare:
[1]={1,11,111}
[0]={0}
[21]={12,21,112,221,121,212,122,211}
so che una relzaione è d equivalenza quando vale la proprietà riflessiva,simmetrica e transitiva(ma potreste svolgermela x favore?)
Domanda di Giulialg88

 
Soluzioni

  • Ciao Giulialg88, arrivo a risponderti...

    Risposta di Omega

  • Per vedere che la relazione tra gli insiemi

    X: = x∈N t.c. 0 ≤ x ≤ 1000

    è di equivalenza, osserviamo che è riflessiva, simmetrica e transitiva. Questo è evidente, perché la relazione è definita mediante un'uguaglianza. Le classi che hai individuato, inoltre, sono corrette.

    Passando alla seconda parte dell'esercizio, se ci fai caso, l'insieme W ⊆ P(Y) è costituito da insiemi aventi al più tre elementi tra 0 e 9. In questo modo possiamo sicuramente coprire tutti i numeri compresi tra 0 e 1000 assegnando a ciascuno di essi le cifre decimali che lo compongono. Ogni singoletto-coppia-terna di numeri decimali compresi tra 0 e 9 potrà essere messa in corrispondenza biunivoca con l'insieme dei numeri costituiti, in rappresentazione decimale, dai suoi elementi.

    L'insieme dei numeri costituiti dai suoi elementi che sarà mai? La classe di equivalenza di uno qualsiasi di questi elementi!

    Per l'iniettività, se risulta che

    F([a]) = F([b])

    allora abbiamo uno stesso insieme di 1 opp. 2 opp. 3 elementi compresi tra 0 e 9, quindi le preimmagini [a] e [b] sono le classi di equivalenza di tutti i numeri compresi tra 1 e 1000 che si possono scrivere in forma decimale con quegli elementi. L'iniettività segue dall'unicità della rappresentazione in forma decimale.

    Per la suriettività, se hai capito bene la struttura dell'insieme W, non dovrebbero esserci problemi nel concludere che l'applicazione F è evidentemente suriettiva.

     

    Dedurne che X/R è costituito da esattamente (10)+(10)+(10) (non ho capito che significa scritto in questo modo..) ( 1 ) ( 2 ) ( 3 )

    È scritto proprio così?

     

    Risposta di Omega

  • è scritto in un unica parentesi lunga 10 e sotto 1,poi 10 e sotto 2 etc etc divisi da  un +

    (10)+(10)+(10)

    ( 1 )  (2  )  (3  )

    Risposta di Giulialg88

  • Coefficienti binomiali! Laughing

    Forse così:

    binom(10)(1)+binom(10)(2)+binom(10)(3)

    ?

    Risposta di Omega

  • si...potresti spiegarmi per favore? =(

    Risposta di Giulialg88

  • Se sai cosa sono i coefficienti binomiali, la questione si risolve molto semplicemente. Basta osservare che il numero di insiemi di m elementi presi in un insieme di n elementi (n deve essere maggiore di m!) senza tenere conto dell'ordine è dato da

    binom(n)(m) = (n!)/((n-m)!m!)

    qui non c'è niente di algebrico, ma è semplicemente un risultato noto, che si dimostra a parte.

    Nel nostro caso, l'insieme W è costituito da insiemi (i suoi elementi) di tre tipi: contenenti un elemento, due oppure tre. Quindi ci sono

    binom(10)(1)

    insiemi costituiti da un solo elemento,

    binom(10)(2)

    insiemi costituiti da due elementi,

    binom(10)(3)

    insiemi costituiti da tre elementi.

    La somma di questi tre numeri fornisce il numero totale di elementi di W (insiemi).

    Namasté!

    Risposta di Omega
 
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