Soluzioni
  • Ciao Danilo, arrivo a risponderti...

    Risposta di Omega
  • Buongiorno,

    sto facendo un esercizio su massimo e minimo assoluto

     f(x,y,z) = y √(1+z2)

    sulla curva di equazione (x-1)2+y2 + z2 ≤4

    Credo sia una sfera con centro (1 0 0 ) e raggio 2

    Credi bene!

    potrei parametrizzare una sfera con cooordinate cilindriche che penso semplifichi di molto la questione?

    la parametrizzazione con le sferiche che ho utilizzato è stata

    x= 1 + 2 cosφ cosψ

    Y= 2 cosφ sinψ

    z= 2 sinφ

    La parametrizzazione in coordinate sferiche che proponi è corretta. Ma non mi sembra che le coordinate cilindriche possano aiutarti: è vero che semplificherebbero l'espressione della funzione, ma poi come fai a parametrizzare la sfera?

    Vuoi che proviamo a risolverlo insieme?

    Risposta di Omega
  • Magari :)

    Risposta di Danilo
  • Sostituiamo la parametrizzazione nell'espressione della funzione. Troviamo

    f(\varphi,\psi)=2\cos{(\varphi)}\sin{(\psi)}\sqrt{1+4\sin^2{(\varphi)}}

    come vedi la funzione si riduce ad avere due variabili. Non ci resta che calcolare il gradiente, e dopo aver fatto qualche conto troviamo

    \frac{df}{d\varphi}=2\sin{(\psi)}\left[-\sin{(\varphi)}\sqrt{1+4\sin^{2}{(\varphi)}}+\frac{4\sin{(\varphi)}\cos^{2}{(\varphi)}}{2\sqrt{1+4\sin^{2}{(\varphi)}}}\right]

    \frac{df}{d\psi}=2\cos{(\psi)}\cos{(\varphi)}\sqrt{1+4\sin^{2}{\varphi}}

    Se non ho commesso errori nei calcoli, il sistema non mi sembra così complicato da risolvere: basta applicare la legge di annullamento del prodotto, l'unica equazione un po' più elaborata è quella che risulta dalla derivata rispetto a \psi.

    Fin qui ci siamo?

    Risposta di Omega
  • mi sembra sbagliata la prima derivata parziale, non dovrebbe essere la derivata di un prodotto???

    Risposta di Danilo
  • E lo è, solo che di mezzo c'è un raccoglimento...

    Risposta di Omega
  • Non riesco a capire la derivata parziale...potresti scrivermi i passaggi? grazie

    Risposta di Danilo
  • Non c'è niente di complicato: quando derivi rispetto a \varphi devi considerare \psi come una costante. Quindi

    \frac{d}{d\varphi}f=2\cos{(\psi)}\frac{d}{d\varphi}\cos{(\varphi)}\sqrt{1+4\sin^{2}{(\varphi)}}

    Nella precedente derivata avevo dimenticato di ricopiare una radice. La derivata corretta è evidentemente

    2\sin{(\varphi)}\left[-\sin{(\varphi)}\sqrt{1+4\sin^{2}{(\varphi)}}+\frac{4\sin{(\varphi)}\cos^2{(\varphi)}}{\sqrt{1+4\sin^{2}{(\varphi)}}}\right].

    Ricorreggo nella risposta precedente.

    Risposta di Omega
  • Ok ora ci siamo :) scusami ma non capivo dov era andata a finire quella radice :)...possiamo terminare l es adesso :)

    Risposta di Danilo
  • Ottimo!

    Ora grazie alla legge dell'annullamento del prodotto:

    2\sin{(\varphi)}=0

    vel

    Parentesi-quadra=0

    L'equazione della parentesi quadra sembra complicatissima ma non lo è: in primo luogo richiediamo che l'argomento della radice sia strettamente positivo, dopodiché calcolando il denominatore comune e dimenticandoci del denominatore stesso (è un'equazione con una frazione posta uguale a zero!):

    -\sin{(\varphi)}(1+4\sin^2{(\varphi)})+4\sin{(\varphi)}\cos^{2}{(\varphi)}=0

    riscriviamo

    -\sin{(\varphi)}-4\sin^3{(\varphi)})+4\sin{(\varphi)}(1-\sin^{2}{(\varphi)})=0

    svolgendo i calcoli rimane

    3\sin{(\varphi)}-8\sin^{3}{(\varphi)}=0

    Fin qui ok?

    Risposta di Omega
  • ok ;)

    Risposta di Danilo
  • Adesso non ti resta che osservare che:

    - dall'equazione della derivata prima rispetto a \psi non devi considerare l'annullamento della radice, che risulterebbe non accettabile nell'equazione della derivata rispetto a \varphi.

    -Prendi tutti i valori di \varphi che annullano l'equazione della derivata rispetto a \varphi e li sostituisci dentro l'equazione della derivata rispetto a \psi

    -Prendi tutti i valori di \psi che annullano l'equazione della derivata rispetto a \varphi e li sostituisci dentro l'equazione della derivata rispetto a \psi.

    Le coppie di valori che annullano simultaneamente le due derivate sono i punti stazionari della funzione vincolata alla superficie. 

    Risposta di Omega
MEDIE Geometria Algebra e Aritmetica
SUPERIORI Algebra Geometria Analisi Varie
UNIVERSITÀ Analisi Algebra Lineare Algebra Altro
EXTRA Vita quotidiana
 
Domande della categoria Uni-Analisi