Ciao Danilo, arrivo a risponderti...
Buongiorno,
sto facendo un esercizio su massimo e minimo assoluto
f(x,y,z) = y √(1+z2)
sulla curva di equazione (x-1)2+y2 + z2 ≤4
Credo sia una sfera con centro (1 0 0 ) e raggio 2
Credi bene!
potrei parametrizzare una sfera con cooordinate cilindriche che penso semplifichi di molto la questione?
la parametrizzazione con le sferiche che ho utilizzato è stata
x= 1 + 2 cosφ cosψ
Y= 2 cosφ sinψ
z= 2 sinφ
La parametrizzazione in coordinate sferiche che proponi è corretta. Ma non mi sembra che le coordinate cilindriche possano aiutarti: è vero che semplificherebbero l'espressione della funzione, ma poi come fai a parametrizzare la sfera?
Vuoi che proviamo a risolverlo insieme?
Magari :)
Sostituiamo la parametrizzazione nell'espressione della funzione. Troviamo
come vedi la funzione si riduce ad avere due variabili. Non ci resta che calcolare il gradiente, e dopo aver fatto qualche conto troviamo
![(df)/(dφ) = 2sin(ψ)[-sin(φ)√(1+4sin^(2)(φ))+(4sin(φ)cos^(2)(φ))/(2√(1+4sin^(2)(φ)))]](/images/joomlatex/2/d/2d80ecc148dd98db7e30edcbe21decbb.gif)
Se non ho commesso errori nei calcoli, il sistema non mi sembra così complicato da risolvere: basta applicare la legge di annullamento del prodotto, l'unica equazione un po' più elaborata è quella che risulta dalla derivata rispetto a
.Fin qui ci siamo?
mi sembra sbagliata la prima derivata parziale, non dovrebbe essere la derivata di un prodotto???
E lo è, solo che di mezzo c'è un raccoglimento...
Non riesco a capire la derivata parziale...potresti scrivermi i passaggi? grazie
Non c'è niente di complicato: quando derivi rispetto a
devi considerare come una costante. Quindi
Nella precedente derivata avevo dimenticato di ricopiare una radice. La derivata corretta è evidentemente
![2sin(φ)[-sin(φ)√(1+4sin^(2)(φ))+(4sin(φ)cos^2(φ))/(√(1+4sin^(2)(φ)))]](/images/joomlatex/c/d/cd8ab0adb75049564b642020b24d5a67.gif)
.Ricorreggo nella risposta precedente.
Ok ora ci siamo :) scusami ma non capivo dov era andata a finire quella radice :)...possiamo terminare l es adesso :)
Ottimo!
Ora grazie alla legge dell'annullamento del prodotto:
vel
L'equazione della parentesi quadra sembra complicatissima ma non lo è: in primo luogo richiediamo che l'argomento della radice sia strettamente positivo, dopodiché calcolando il denominatore comune e dimenticandoci del denominatore stesso (è un'equazione con una frazione posta uguale a zero!):
riscriviamo
svolgendo i calcoli rimane
Fin qui ok?
ok ;)
Adesso non ti resta che osservare che:
- dall'equazione della derivata prima rispetto a
non devi considerare l'annullamento della radice, che risulterebbe non accettabile nell'equazione della derivata rispetto a .-Prendi tutti i valori di
che annullano l'equazione della derivata rispetto a e li sostituisci dentro l'equazione della derivata rispetto a . -Prendi tutti i valori di
che annullano l'equazione della derivata rispetto a e li sostituisci dentro l'equazione della derivata rispetto a .Le coppie di valori che annullano simultaneamente le due derivate sono i punti stazionari della funzione vincolata alla superficie.
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