Soluzioni
  • Ciao Elisa,

    risolvere questa disequazione con modulo significa discutere in due sistemi separati, studiando il segno dell'argomento del modulo, per poi risolvere due disequazioni irrazionali.

    Mi spiego meglio.

    2\sqrt{|x-2|}\textless 3

    1) Studiamo il segno dell'argomento del valore assoluto, e scriviamo due sistemi di cui poi covremo prendere l'unione delle soluzioni

    \begin{cases}x-2\geq 0\\ 2\sqrt{x-2}\textless 3\end{cases}\ \cup\ \begin{cases}x-2\textless 0\\ 2\sqrt{-x+2}\textless 3\end{cases}

    2) Risolviamo i due sistemi

    \begin{cases}x\geq 2\\ \sqrt{x-2}\textless \frac{3}{2}\end{cases}\ \cup\ \begin{cases}x\textless 2\\ \sqrt{-x+2}\textless \frac{3}{2}\end{cases}

    Dato che i secondi membri delle disequazioni irrazionali non contengono l'incognita, possiamo procedere direttamente elevando al quadrato. Nota infatti che in ciascun sistema la prima condizione garantisce l'esistenza della radice

    \begin{cases}x\geq 2\\ x-2\textless \frac{9}{4}\end{cases}\ \cup\ \begin{cases}x\textless 2\\ -x+2\textless \frac{9}{4}\end{cases}

    da cui ricaviamo

    \begin{cases}x\geq 2\\ x\textless \frac{17}{4}\end{cases}\ \cup\ \begin{cases}x\textless 2\\ -x> -\frac{1}{4}\end{cases}

    Ora scriviamo le soluzioni dei due sistemi di disequazioni

    2\leq x\textless \frac{17}{4}\ \vee\ -\frac{1}{4}\textless x\textless 2

    Unendo le soluzioni troviamo

    -\frac{1}{4}\textless x\textless \frac{17}{4}

    Fine!

    Risposta di Alpha
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