Soluzioni
  • Ciao Leoncinakiara, arrivo a risponderti...

    Risposta di Omega
  • La serie considerata è che

    \sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{4n^2-1}}

    Per il criterio del confronto asintotico la serie è convergente, infatti per n\rightarrow +\infty

    \frac{1}{(4n^2-1)}\sim \frac{1}{n^2}

    che è il termine generale della serie armonica generalizzata cone esponente 2, che è evidentemente una serie convergente.

    Per trovare la somma della serie, ne scriviamo il termine generale nella forma

    \frac{1}{4n^2-1}=\frac{A}{2n-1}+\frac{B}{2n+1}=\frac{2An+A+2Bn-B}{4n^2-1}=\frac{(2A+2B)n+(A-B)}{4n^2-1}

    Dunque vogliamo che (sistema)

    2A+2B=0

    A-B=1

    e tale sistema ha soluzioni

    A=\frac{1}{2}\mbox{, }B=-\frac{1}{2}

    Per questo motivo possiamo riscrivere la serie, che è una serie telescopica, come

    \sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{4n^2-1}}=\frac{1}{2}\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{2n-1}}-\frac{1}{2}\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{2n+1}}=\frac{1}{2}-\frac{1}{6}+\frac{1}{6}-...=\frac{1}{2}

    Namasté!

    Risposta di Omega
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