Soluzioni
  • Ciao Danielenonlasà, arrivo a risponderti...

    Risposta di Omega
  • comunque mi sono sbagliato, volevo dire serie di potenze, no di funzioniSurprised

    Risposta di Danielenonlasà
  • Vediamo se ho colto il senso della domanda. Innanzitutto, la tua osservazione sugli intervalli di convergenza è corretta: è proprio per definizione di raggio di convergenza che, comunque prendi un intervallo chiuso e limitato contenuto nell'intervallo di convergenza, la serie converge.

    La convergenza uniforme però non si può valutare su dei punti, quindi immagino che la tua domanda sia: "come posso capire se, detto r il raggio di convergenza e z_0 il centro della serie, la serie converge uniformemente su [z_0-r,z_0+r] oppure solamente su (z_0-r,z_0+r)?"

    "Ma come faccio a vedere se una serie di potenze converge uniformemente sugli estremi dell'intervallo di convergenza?"

    Il  fatto è che agli estremi, presi come singoli punti, puoi valutare solamente la convergenza puntuale, e per studiarla puoi usare il teorema di Abel, che esprime una condizione necessaria per la continuità di una serie di potenze in un punto: se la serie di potenze converge nel punto, allora è ivi continua.

    Cosa puoi fare, quindi? Puoi valutare la convergenza della serie di potenze agli estremi dell'intervallo (sono due specifiche serie numeriche). Se hai convergenza, allora la serie di potenze è continua in tali punti. Per la convergenza uniforme, invece, puoi semplicemente studiare il sup e ragionare con le somme parziali sull'intervallo con estremi inclusi.

    Namasté!

     

    Risposta di Omega
  • grazie sei stato molto chiaro! Un'ultima cosa: quindi è un puro caso che sugli esercizi la serie converge uniformemente all'estremo dell' intervallo di convergenza se questo è incluso nel raggio di convergenza? Ogni volta dunque dovrei fare il consueto studio della convergenza uniforme nell' intervallo delle x considerato compreso gli estremi

    Risposta di Danielenonlasà
  • Figurati!

    Occhio: ti ripeto che la serie non converge uniformemente all'estremo dell'intervallo piuttosto converge uniformemente sull'intervallo con gli estremi inclusi.

    Più che normale direi: se la serie converge puntualmente (quindi come serie numerica) ai due estremi dell'intervallo, per il teorema di Abel se la serie (di potenze) converge in un punto è anche continua nel punto. Proprio grazie alla continuità puoi dedurre che la situazione non è affatto casuale.

    Risposta di Omega
 
MEDIEGeometriaAlgebra e Aritmetica
SUPERIORIAlgebraGeometriaAnalisiAltro
UNIVERSITÀAnalisiAlgebra LineareAlgebraAltro
EXTRAPilloleWiki
 
Esercizi simili e domande correlate
Domande della categoria Università - Analisi