Soluzioni
  • 1) Si ha (a) un piano e (r) una retta che giace su (a). Nell'insieme A delle rette del piano (a) che non sono parallele a r, considera la relazione cosi definita:

    x è in relazione con y -> le rette x e y si intersecano in un punto di r

    Verifica che è una relazione di equivalenza. Quali sono le classi di equivalenza e come si può caratterizzare l'insieme quoziente?

    Per verificare che una relazione tra due insiemi è di equivalenza, dobbiamo mostrare che è riflessiva, simmetrica, transitiva. 

    Chiamiamo la relazione \sim, che nel nostro caso è definita come

    x\sim y\mbox{ se e solo se }x\cap y\neq \emptyset

    (attenzione che, essendo una definizione, è un se e solo se e non solamente un'implcazione verso destra!)

    Ora, che l'applicazione sia riflessiva è evidente: ogni retta di A che interseca la retta r in un punto interseca se stessa in tale punto.

    Quindi \forallx\in\mbox{ }A\mbox{ si ha che }x\sim x

    Che sia simmetrica, è pure evidente. Infatti se supponiamo che una retta x intersechi un'altra retta y in un punto di r, è chiaro che y interseca x in quel punto di r. Quindi

    Quindi \forallx,y\in\mbox{ }A\mbox{ tali che }x\sim y\mbox{ risulta che }y\sim x

    Resta da mostrare che è transitiva, ed è l'unico punto un po' delicato: supponiamo che

    x\sim y\mbox{ e che }y\sim z

    Quindi xy si intersecano in un punto P di r, e dato che yz si intersecano in un punto di r necessariamente tale punto è P. Infatti y non può intersecare la retta r in più di un punto, a meno di non coincidere con essa: in tal caso, le tre rette x,y,z dovrebbero necessariamente coincidere!

    Ne segue che xz si intersecano nel punto P di r, e quindi sono in relazione tra loro. La relazione è quindi transitiva ed è quindi di equivalenza.

    Una classe di equivalenza è data da un fascio proprio di rette con centro in un punto di r, e l'insieme quoziente è l'insieme dei fasci di rette aventi centro sulla retta r.

    Per il secondo esercizio ti chiedo la cortesia di aprire una nuova domanda dopo aver cliccato su "Accetta risposta" in questa, come da regolamento.

    Namasté!

    Risposta di Omega
 
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