Soluzioni
  • Ciao Cifratonda :) 

    Iniziamo con lo scrivere le informazioni che ci servono per risolvere il problema. Abbiamo a che fare con un pentagono irregolare di cui conosciamo la lunghezza dei lati

    AB=14\,\, cm

    BC= 30\,\, cm

    CD=40\,\,cm

    DE=48\,\, cm

    L'esercizio chiede di calcolare il perimetro sapendo che l'area del cerchio di diametro AE è uguale alla somma delle aree dei semicerchi di diametri AB, BC, CD, DE.

    Questa informazione è fondamentale perché ci permette di trovare la lunghezza dell'ultimo lato. 

    Ci servono le aree dei semicerchi di cui conosciamo il diametro

    Il diametro del primo semicerchio è AB=14\,\,cm. Conoscendo il diametro possiamo determinare il raggio dividendo per due:

    r_{AB}=AB:2= 14:2=7\,\,cm

    L'area di questo semicerchio sarà:

    A_{AB}= \pi r_{AB}^2:2= \frac{49}{2}\pi\,\, cm^2

    Il diametro del secondo semicerchio è BC=30\,\,cm e in questo caso il raggio sarà:

    r_{BC}=BC:2= 30:2= 15\,\,cm

    Dunque l'area del semicerchio è:

    A_{BC}=\pi r_{BC}^2:2= \frac{225}{2} \pi \,\,cm^2

    Il diametro del terzo semicerchio è CD=40\,\,cm pertanto il raggio è:

    r_{CD}=40:2=20\,\,cm

    L'area del semicerchio è

    A_{CD}=\pi r_{CD}^{2}:2=\frac{400}{2}\pi\,\,cm^2= 200\pi\,\, cm^2

    Continuiamo infine con l'ultimo semicerchio il cui diametro è DE=48\,\,cm conseguentemente:

    r_{DE}= CD:2=24\,\,cm

    e l'area del semicerchio è

    A_{DE}= \pi r_{CD}^2:2= 288\pi\,\,cm^2

    Ora sommiamo tutte le aree dei semicerchi così da ottenere l'area del cerchio di diametro AE.

    A_{AE}= A_{AB}+A_{BC}+A_{CD}+A_{DE}=

    =\frac{49}{2}\pi+\frac{225}{2}\pi+200\pi+288\pi=

    Calcoliamo il minimo comune multiplo tra i denominatori, ossia 2:

    =\frac{49\pi+225 \pi+200\pi+288\pi}{2}=625\pi\,\, cm^2

    Il risultato ottenuto rappresenta l'area del cerchio di diametro EA, e grazie alle formule inverse del cerchio possiamo scrivere che il raggio di tale cerchio è dato da:

    r_{AE}=\sqrt{\frac{A_{EA}}{\pi}}=\sqrt{625}=25\,\,cm

    Il diametro AE sarà dunque:

    AE=2\times r_{AE}= 2\times 25\,\,cm=50\,\,cm

    Il perimetro del pentagono irregolare è dato dalla somma delle lunghezze dei lati:

    P=AB+BC+CD+DE+EA=14\,\,cm+30\,\,cm+40\,\,cm+48\,\,cm+50\,\,cm

    Risposta di Ifrit
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