Soluzioni
  • Eccomi, ciao xavier310! Il tempo di scrivere la risposta ;)

    Risposta di Ifrit
  • M_3(\mathbb{R}) ha come base (canonica):

    B_{M_3(\mathbb{R})}=\left\{\left[\begin{matrix}1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0&0&0\end{matrix}\right],\left[\begin{matrix}0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0&0&0\end{matrix}\right],\cdots, \left[\begin{matrix}0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0&0&0\end{matrix}\right],\cdots, \left[\begin{matrix}0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0&0&1\end{matrix}\right]\right\}

     

    In pratica hai nove matrici diverse, i cui elementi sono nulli eccetto uno, il quale vale 1.

    La dimensione di uno spazio vettoriale è il numero di elementi della base, di conseguenza, 

    \mbox{dim}(M_3(\mathbb{R}))=9

    _________________________________________________________________________________

    La seconda domanda è scritta male, ma ho capito il senso:

    In pratica lo spazio vettoriale M_{3}(\mathbb{R}) si esprime come somma diretta di due sottospazi vettoriali:

    U=\left\{A\in M_3(\mathbb{R}): A=A^t\right\}\qquad V=\left\{B\in M_3(\mathbb{R}): B=-B^t\right\}

    Dove U è il sottospazio delle matrici simmetriche, mentre V è il sottospazio delle matrici antisimmetriche.

     

    L'unica matrice che è contemporaneamente simmetrica e antisimmetrica è la matrice nulla

    \mathbf{0}=\left[\begin{matrix}0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0&0&0\end{matrix}\right]

    A questo punto è sufficiente osservare che ogni matrice 3\times 3 si lascia decomporre come somma tra due matrici, una simmetrica, l'altra antisimmetrica.

    Dimostriamolo: Fissiamo una matrice M\in M_3(\mathbb{R}) Vogliamo determinare A\in U e B\in V tale che 

    M=A+B

    La trasposta di questa matrice è:

    M^t= (A+B)^t= A^t+B^t=[\mbox{ A è simmetrica, B simmetrica }] = A-B

    Da qui scopriamo che:

    M+M^t= A+B+A-B=2 A\implies A= \frac{M+M^t}{2}

    M-M^t= A+B-A+B=2B\implies B=\frac{M-M^t}{2}

    Abbiamo finito, perchè abbiamo mostrato che:

    • Ogni matrice 3x3 si decompone come somma tra due elementi, uno del sottospazio U, l'altra del sottospazio V

    • L'intersezione tra U e V è la matrice nulla. 

    e questa è la definizione di somma diretta ;)

    Risposta di Ifrit
  • Per quanto riguarda la prima domanda, si può dire che la matrice di ordine 3 ha dimensione 9 perchè ogni elemento della base dipende da 9 parametri, cioè da 9 incognite?

    Per quanto riguarda la seconda domanda non ho ben capito i passaggi della dimostrazione, in particolare il ruolo che gioca la trasposizione. Ed essendo somma diretta, qual'è la dimensione della matrice simmetrica e antisimmetrica associate?

    Risposta di xavier310
  • "Per quanto riguarda la prima domanda, si può dire che la matrice di ordine 3 ha dimensione 9 perchè ogni elemento della base dipende da 9 parametri, cioè da 9 incognite?"

    Non capisco la domanda Frown, o forse intendi dire che ogni matrice si può scrivere come combinazione lineare della base, composta da 9 "vettori"?

    In pratica la storia è questa Laughing:

    Prendiamo una matrice 3x3 a coefficienti reali:

    \left[\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{matrix}\right]= a_{11}\left[\begin{matrix}1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 &0 \end{matrix}\right]+a_{12}\left[\begin{matrix}0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 &0 \end{matrix}\right]+a_{13}\left[\begin{matrix}0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 &0 \end{matrix}\right]+\cdots +a_{33}\left[\begin{matrix}0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 &1\end{matrix}\right]

    Le varie matrici che intervengono in questa decomposizione costituiscono una base (detta base canonica) per lo spazio  delle matrici di ordine 3. Per il calcolo della dimensione, ho utilizzato la definizione (così non si sbaglia mai :) ).


    Il calcolo della trasposta è "uno stratagemma" per determinare le matrici A e B, niente di più e niente di meno. Questo trucco è una conseguenza delle definizioni di matrice simmetrica e antisimmetrica.

    La dimensione dello spazio U si calcola in questo modo:

    Una matrice simmetrica di M_3(\mathbb{R}) è della forma:

    A=\left[\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{12} & a_{22} & a_{23}\\ a_{13} & a_{23} & a_{33}\end{matrix}\right]

     

    Osserviamo ora che:

    A=a_{11}\left[\begin{matrix}1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{matrix}\right]+a_{12}\left[\begin{matrix}0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{matrix}\right]+ a_{13}\left[\begin{matrix}0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 0\end{matrix}\right]+a_{22}\left[\begin{matrix}0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{matrix}\right]+a_{23}\left[\begin{matrix}0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0\end{matrix}\right]+a_{33}\left[\begin{matrix}0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1\end{matrix}\right]

    Dunque la dimensione dello spazio U è 6, con un ragionamento simile (ti supplico non farmelo fare xD  scherzo!) puoi determinare la dimensione di V che è 3, rispettando quindi il teorema sulla dimensione del sottospazio somma:

    \mbox{dim}(M_3(\mathbb{R}))= \mbox{\dim}(U)+\mbox{\dim}(V)

     

    E' un po più chiaro ora? :)

    Risposta di Ifrit
  • Forse in questo caso la mia difficoltà di comprensione sta nel fatto che associo in modo errato spazi vettoriali e matrici. Forse un esempio può essere la relazione che c'è tra un spazio vettoriale a tre dimensioni con la matrice associata. Cioè la matrice associata alla base è sempre una matrice 3 per 3 ma la dimensione è 3? (ho detto una cosa assurda ma è per cercare di farti capire cos'è che mi è poco chiaroTongue)

     

    Risposta di xavier310
  • Cry Non ti capisco Cry

    Non so cosa vuol dire "associare una matrice ad uno spazio vettoriale". Ho cercato sul mio libro di Algebra lineare e Geometria... Ma niente Cry.

     

    Preferisco non rispondere ad una domanda che non capisco, invece di gettare risposte errate che rischierebbero di confonderti solamente. Le strade sono due, o troviamo un linguaggio comune a tutt'e due, oppure aspetti che qualcuno più bravo di me ti dia una risposta... Mi spiace tantissimo non essere in grado di aiutarti :(

    Risposta di Ifrit
  • Non preoccuparti Tongue sono io che non riesco a farmi capire. Provo in un'altro modo, cioè facendo domande precise:

    1) La dimensione di una matrice di ordine 2 è 4?

    2)Quale ordine deve avere una matrice affinchè sia di ordine 3?

    3)Quale può essere uno spazio isomorfo a uno spazio vettoriale di dimensione 3? (prendendo in cosiderazione le matrici)

    Risposta di xavier310
  • Ci provo io Ifrit, alle volte è davvero difficile riuscire a spiegare. Proviamo a ricominciare completamente da capo: la dimensione di uno spazio è data dai suoi parametri liberi. Cioè dai parametri che puoi scegliere arbitrariarmente e in maniera indipendente. Data una matrice 3x3 quanti sono i parametri che puoi scegliere? Semplice, disegnamo una matrice 3x3 come segue:

     

    \left[\begin{matrix}a & b & c\\d & f & g\\ h & i & j \\ k & l & m\end{matrix}\right]

     

    Ogni entrata della matrice, nello spazio M3(R) può essere scelta ad arbitrio, cioè

    a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m\in\mathbb{R}

    e non c'è nessun legame tra questi scalari.

    Dunque la dimensione di tale spazio coincide proprio con il numero degli elementi di una matrice 3x3, cioè 9.

    Non confonderti pensando ad altri spazi vettoriali, al contrario, pensa sempre in termini di componenti arbitrarie, ad esempio in un vettore di R3 , quante componenti hai? 3, infatti tale spazio ha proprio dimensione 3.

    Ricorda ancora che l'isomorfismo naturale tra spazi di matrici e spazio vettoriali del tipo Rn è definito come segue:

     

    M_n(\mathbb{R})\simeq \mathbb{R}^{n^2}

     

    Dunque, lo spazio

     

    M_3(\mathbb{R})\simeq \mathbb{R}^{3^2}=\mathbb{R}^{9}

     

    ha dimensione uguale alla dimensione di R9 cioè 9.

    Risposta di Alpha
  • Oddio forse ho capito! Non è che per caso confondi l'ordine della matrice quadrata con la dimensione dello spazio vettoriale a cui appartiene?

    Ad esempio, una matrice di ordine 2 appartiene allo spazio vettoriale M_2(\mathbb{R}) e quest'ultimo ha dimensione 4.

     

    "2)Quale ordine deve avere una matrice affinchè sia di ordine 3?"

    Questa è una domanda strana, cioè ti fai una domanda e ti rispondi da solo! E' un po come se dicessi "Di che colore era il cavallo bianco di Napoleone? " (cit: Omega).

    Forse intendi dire qual è la dimensione dello spazio vettoriale affinché la matrice quadrata di ordine 3 vi appartenga? La risposta è 9 proprio per quello che ho detto prima.

     

    In generale, se hai una matrici quadrate di ordine n, la dimensione dello spazio vettoriale \mathcal{M}(n, \mathbb{R}) è n^2. La dimensione degli spazi vettoriali \mathcal{M}(n, \mathbb{R}) è un quadrato perfetto. Ti faccio notare che non sto parlando di sottospazi di \mathcal{M}(n, \mathbb{R}) ma dell'intero spazio vettoriale!

     

    Per la terza domanda, affinché vi sia un isomorfismo tra due spazi vettoriali, è necessario che entrambi (gli spazi) abbiano la stessa dimensione.

    Risposta di Ifrit
  • Ok :)sono riuscito ad indirizzarvi dove volevo.  Ora prendendo in considerazione i parametri liberi, che nell' isomorfismo naturale tra spazi di matrici e spazio vettoriali corrispondono alla dimensione, volevo capire che ralazione e meccanismo vi è tra i parametri liberi che per esempio descrivono un piano nello spazio a tre dimensioni, una retta sempre a tre dimensioni, oppure l'intersezione tra spazi sempre in tre dimensioni e come fare ad individuare i parametri liberi in questi casi? Spero di essere riuscito a farmi capire Embarassed

    Risposta di xavier310
  • Ecco \alpha! Grazie, mi ero un po' impantanato. Scusami per la risposta, non avevo visto la tua. Grazie per avermi tolto dall'impiccio xD

    Risposta di Ifrit
  • Figurati Ifrit, ti lascio continuare, le tue risposte sono validissime! :)

     

    Solo una cosa: Xavier...non voglio essere pedante, l'ultima domanda che hai posto è abbastanza strana, ma può rientrare tranquillamente in ciò che dicevo prima: una retta ha una dimensione, quindi in un vettore di 3 componenti dovremo avere solo un parametro libero, un piano ha dimensione 2, quindi, i parametri liberi dovranno essere due!

    Risposta di Alpha
  • Il fatto è che avendo una retta, in un piano devo considerare 2 parametri  mentre nello spazio 3 parametri giusto?  Cosi come un piano nello spazio dipende da 4 parametri! Cosa rappresentano questi parametri in tutto gli intrecci e relazioni che vi sono tra spazi vettoriali, applicazioni lineari, dimensione, rango eccetera? (lo so che è molto difficile entrare in sintonia con le mie domande un po incasinate e fantasiose Tongue ma il solo fatto che ci proviate merita tutta la mia stima nei vostri confronti :)!)

    Risposta di xavier310
  • Grazie della stima. Una retta non è nient'altro che un sottospazio, in particolare è un sottospazio di dimensione 1. Di conseguenza i parametri che ne determinano la dimensione, quelli che abbiamo chiamato liberi, non possono essere più d'uno, in qualsiasi spazio vettoriale.

    I parametri dunque rappresentano la dimensione dell'immagine dell'applicazione che definisce la retta, dunque il rango.

    Risposta di Alpha
  • Il fatto è che una retta y=mx+q dipende da m da x e da q!?!?Undecided

    Risposta di xavier310
  • No no no no! Una retta di quel tipo è per come l'hai definita immersa in R2,, infatti è y=f(x), con f(x)=mx+q. In forma vettoriale si può scrivere

     

    (x,y)=(x,f(x))=(x,mx+q)

     

    Dove m e q non sono parametri, ma scalari fissati, cioè considerando una retta precisa devi scegliere m e q, cioè fissarli, dunque y dipende esclusivamente da x.

     

    Prova con questo esempio: y=-3x+5, quello che ho scritto prima si può riscrivere come

     

    (x,y)=(x,-3x+5)

     

    dunque questo vettore dipende da un solo parametro variabile, che è x, infatti la retta ha dimensione 1!

     

    Dunque non confondere gli scalari con i parametri liberi, in sostanza i parametri sono le componenti del vettore che possono variare liberamente, dunque (x1,..,xn), mentre i coefficienti sono solo degli scalari che moltiplicano le componenti del vettore.

     

    Ad esempio se consideri la retta di prima moltiplicata per lo scalare k=2 ottieni

     

    y=-6x+10

     

    (x,y)=(x,-6x+10)

     

    ma ancora una volta hai una retta e come vedi, nonostante lo scalare a moltiplicare la retta il parametro libero è ancora la sola x!

    Risposta di Alpha
  • Ok. Per capire meglio potresti dirmi un'ultima cosa? L'intersezione di due piani in R3 quale dimensione ha? 

    Risposta di xavier310
  • Dipende: se i due piano sono paralleli hanno intersezione nulla, quindi la dimensione è 0. Se sono coincidenti allora la dimensione dell'intersezione coincide con il piano stesso, dunque è 2. Se sono incidenti allora la loro intersezione è una retta, dunque ha dimensione 1.

    Risposta di Alpha
 
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