Soluzioni
  • Ciao Ely. :)

    Per farci un'idea di quello che dobbiamo fare, disegniamo la parabola di equazione

    y=-x^2+3x+2

    tracciamo una retta generica di equazione y=k parallela all'asse x che giace nel semipiano superiore e disegniamo il rettangolo inscritto tra l'asse x e la parabola.

     

    Rettangolo inscritto tra parabola ed asse delle ascisse

     

    In caso di dubbi leggi la nostra guida su come disegnare una parabola - click!

    Passiamo ora alla risoluzione algebrica del problema. Mettiamo a sistema l'equazione della retta con l'equazione della parabola in modo da trovare, in funzione di k, le coordinate dei punti C \mbox{ e } D

    \begin{cases}y=-x^2+3x+2 \\ y=k\end{cases}

    Sostituendo la seconda relazione nella prima ricadiamo in un'equazione di secondo grado

    k=-x^2+3x+2 \mbox{ ossia } x^2-3x+k-2=0

    che ha come soluzioni

    x_1=x_D=\frac{3-\sqrt{17-4k}}{2}

    x_2=x_C=\frac{3+\sqrt{17-4k}}{2}

    Allora i punti C \mbox{ e } D hanno coordinate cartesiane

    C\left(\frac{3+\sqrt{17-4k}}{2},k\right) \ \ \ D\left(\frac{3-\sqrt{17-4k}}{2},k\right)

    Possiamo così trovare la misura della base \overline{CD} del rettangolo utilizzando la formula della distanza tra due punti aventi stessa ordinata

    \overline{CD}=\sqrt{17-4k}

    Inoltre l'altezza \overline{AD} del rettangolo è pari a k; visto che, dai dati forniti dal problema, sappiamo che l'altezza del rettangolo è il doppio della base, per trovare il valore di k ci basta imporre che sia

    \overline{AD}=2\overline{CD}

    da cui ricadiamo nell'equazione irrazionale nell'incognita k

    k=2\sqrt{17-4k}

    che ha come (unica) soluzione

    k=2\sqrt{33}-8

    Fine. :)

    Risposta di Galois
 
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