Soluzioni
  • Il problema ci chiede di determinare il dominio e il segno della funzione

    f(x) = (x^4-x)/(x+3)

    Dominio

    Poiché f(x) è una funzione razionale fratta dobbiamo richiedere che il denominatore sia diverso da zero, dobbiamo cioè imporre la condizione di esistenza

    C.E. : x+3 ne 0 → x ne-3

    Il dominio della funzione è quindi

    Dom(f) = x∈R t.c. x ne-3 =

    che in termini di intervalli diventa

    = (-∞,-3) U (-3,+∞)

    Studio del segno

    Per quanto riguarda il segno di f(x) dobbiamo impostare e risolvere la disequazione fratta

    f(x) ≥ 0 → (x^4-x)/(x+3) ≥ 0

    A tal proposito, esaminiamo separatamente il segno del numeratore e il segno del denominatore, cominciando dal primo.

    • N ≥ 0 → x^4-x ≥ 0

    Ci siamo ricondotti a una disequazione di grado superiore al secondo che risolviamo con un raccoglimento totale. Se mettiamo in evidenza x otteniamo

    x(x^3-1) ≥ 0

    Analizziamo i segni dei fattori che compongono il primo membro. In particolare

    F_1 ≥ 0 → x ≥ 0

    è già risolta. Analizziamo la disequazione relativa al secondo fattore

    F_2 ≥ 0 → x^3-1 ≥ 0

    Isoliamo x^3 al primo membro

    x^3 ≥ 1

    ed estraiamo la radice cubica dei due membri

    x ≥ 1

    Abbiamo tutti gli elementi per dedurre il segno del numeratore:

    - se x < 0 oppure x > 1, il numeratore è positivo;

    - se x = 0 oppure se x = 1, il numeratore è nullo;

    - se 0 < x < 1, il numeratore è negativo.

    Il segno del denominatore si ottiene risolvendo la disequazione di primo grado

    • D > 0 → x+3 > 0 → x > -3

    A questo punto creiamo la tabella dei segni e deduciamo il segno della funzione

    beginarrayc|ccccccc -3 0 1 ; hline ; N +++ + +++ 0 --- 0 +++; ; D --- 0 +++ + +++ + +++; hline ; f(x) --- !∃ +++ 0 --- 0 +++ endarray

    Riassumendo, possiamo concludere che f(x) è una funzione:

    - positiva se

    -3 < x < 0 ∨ x > 0

    - uguale a 0 se

    x = 0 ∨ x = 1

    - negativa se

    x < -3 ∨ 0 < x < 1

    A conferma dei risultati, riportiamo un dettaglio del grafico della funzione.

     

    Grafico della funzione fratta

     

    Per un grafico più dettagliato puoi usare il nostro tool per i grafici di funzioni.

    È fatta!

    Risposta di Ifrit
 
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