Il problema ci chiede di determinare il dominio e il segno della funzione
Dominio
Poiché
è una funzione razionale fratta dobbiamo richiedere che il denominatore sia diverso da zero, dobbiamo cioè imporre la condizione di esistenza
Il dominio della funzione è quindi
che in termini di intervalli diventa
Studio del segno
Per quanto riguarda il segno di
dobbiamo impostare e risolvere la disequazione fratta
A tal proposito, esaminiamo separatamente il segno del numeratore e il segno del denominatore, cominciando dal primo.
Ci siamo ricondotti a una disequazione di grado superiore al secondo che risolviamo con un raccoglimento totale. Se mettiamo in evidenza
otteniamo
Analizziamo i segni dei fattori che compongono il primo membro. In particolare
è già risolta. Analizziamo la disequazione relativa al secondo fattore
Isoliamo
al primo membro
ed estraiamo la radice cubica dei due membri
Abbiamo tutti gli elementi per dedurre il segno del numeratore:
- se
oppure
, il numeratore è positivo;
- se
oppure se
, il numeratore è nullo;
- se
, il numeratore è negativo.
Il segno del denominatore si ottiene risolvendo la disequazione di primo grado
A questo punto creiamo la tabella dei segni e deduciamo il segno della funzione
Riassumendo, possiamo concludere che
è una funzione:
- positiva se
- uguale a 0 se
- negativa se
A conferma dei risultati, riportiamo un dettaglio del grafico della funzione.
Per un grafico più dettagliato puoi usare il nostro tool per i grafici di funzioni.
È fatta!
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