Soluzioni
  • In buona sostanza ti interessano i passaggi per lo studio di funzione fino ai limiti.

    Il dominio è

    Dom(f)=(-\infty,0)\cup(0,+\infty)

    devi solamente porre l'argomento del logaritmo naturale maggiore di zero e mettere questa condizione a sistema con la condizione: denomiantore diverso da zero.

    La funzione in particolare è una funzione dispari e per studiarne il segno bisogna risolvere la disequazione

    f(x)>0

    che può sembrare complicata, ma in realtà il numeratore è sempre positivo (è un'esponenziale!) quindi lo studio del segno si riduce al solo denominatore. Si conclude che la funzione è negativa per x>0 e positiva altrove.

    Per quanto riguarda i limiti agli estremi del dominio, abbiamo

    \lim_{x\to -\infty}{f(x)}=+\infty

    per risolverlo ti basta scrivere il denominatore come

    x^3=e^{\log{(|x|^3)}}

    ed effettuare un semplice confronto tra infiniti. Analogamente calcoli

    \lim_{x\to +\infty}{f(x)}=-\infty

    Per quanto riguarda il punto x=0, esso consiste in un punto di discontinuità di seconda specie e dunque abbiamo un asintoto verticale. In particolare:

    \lim_{x\to 0^-}{f(x)}=+\infty

    \lim_{x\to 0^+}{f(x)}=+\infty

    Basta ricorrere all'Algebra degli infiniti e degli infinitesimi.

    Per quanto riguarda la derivata prima, i calcoli sono lunghetti: si tratta sostanzialmente di calcolare la derivata, studiarne il segno e osservare che dove la derivata prima è positiva la funzione cresce, mentre dove la derivata prima è negativa la funzione decresce. Prova a calcolarla e fammi sapere se ci sono difficoltà.

    Namasté!

    Risposta di Omega
 
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