Studiare un integrale improprio con parametro

Question

Vi chiedo una mano per un integrale improprio dipendente da un parametro, più precisamente l'esercizio ha diverse richieste che mi hanno creato molti dubbi. Determinare i valori del parametro β la funzione f(x) = (x[sin(3−x)]^(β))/((3−x)^((1)/(2))(3+x)^((1)/(2))) a) è integrabile secondo Riemann nell'intervallo [2,3); b) è integrabile in senso improprio nell'intervallo [2, 3); Calcolare, infine, l'integrale improprio di f(x) nell'intervallo [2, 3) per β = 0.

Redazione di YouMath · Accepted Answer

Per rispondere correttamente al quesito dobbiamo procedere con l'analisi della funzione integranda f(x) = (x[sin(3−x)]^(β))/((3+x)^((1)/(2))(3−x)^((1)/(2))) Una condizione sufficiente affinché f(x) sia integrabile secondo Riemann sull'intervallo [2, 3) è dettata dalla continuità e limitatezza di f(x) nell'intervallo dato. (Per approfondire−classi di funzioni integrabili). Naturalmente f(x) è continua in [2, 3) indipendentemente da β perché composizione di funzioni continue. Per la continuità è tutto ok, dobbiamo però capire per quali valori di β risulta che f(x) è limitata. Per farlo dobbiamo studiare il limite parametrico lim_(x → 3^(−))f(x) = lim_(x → 3^(−))(x[sin(3−x)]^(β))/((3+x)^((1)/(2))(3−x)^((1)/(2))) = (•) Possiamo studiarlo attraverso l'uso delle equivalenze asintotiche, ed in particolare quella dettata dal limite notevole del seno. Per x → 3 si ha che 3−x → 0, pertanto sin(3−x) ~ _(x → 3)3−x ⇒ [sin(3−x)]^(β) ~ _(x → 3)(3−x)^(β) Sostituiamo nel limite la stima ottenuta (•) = lim_(x → 3^(−))(x(3−x)^(β))/((3+x)^((1)/(2))(3−x)^((1)/(2))) = e grazie alle proprietà delle potenze possiamo esprimerlo come = lim_(x → 3^(−))(x (3−x)^(β−(1)/(2)))/((3+x)^((1)/(2))) = 0 se β > (1)/(2) ; (3)/(√(6)) se β = (1)/(2) ;+∞ se β < (1)/(2) Se tale limite è finito allora f(x) è limitata in [2, 3) e dunque integrabile secondo Riemann: ciò avviene se β ≥ (1)/(2). Per β < (1)/(2) f(x) smette di essere limitata, e dunque I = ∫_(2)^(3)(x[sin(3−x)]^(β))/((3−x)^((1)/(2))(3−x)^((1)/(2)))dx è a tutti gli effetti un integrale improprio di seconda specie. Per studiarne la convergenza procediamo con il criterio del confronto asintotico. A conti fatti abbiamo già determinato una stima asintotica di f(x) per x → 3^(−), ma può essere raffinata ulteriormente: f(x) ~ _(x → 3^(−))(x(3−x)^(β−(1)/(2)))/((3+x)^((1)/(2))) ~ _(x → 3^(−))(3 (3−x)^(β−(1)/(2)))/(√(6)) dunque l'integrale I converge se e solo se converge ; ∫_(2)^(3)(3)/(√(6))(3−x)^(β−(1)/(2))dx = (3)/(√(6))∫_(2)^(3)(1)/((3−x)^((1)/(2)−β))dx Ci siamo ricondotti ad un integrale improprio notevole di seconda specie che converge se e solo se (1)/(2)−β < 1 ⇔ β > −(1)/(2) e per il criterio del confronto asintotico anche l'integrale I converge in senso improprio per β > −(1)/(2). Non ci resta che calcolare l'integrale di f(x) con dominio di integrazione [2, 3) quando β = 0, ossia ∫_(2)^(3)(x)/((3−x)^((1)/(2))(3+x)^((1)/(2)))dx = Grazie alla definizione di potenza con esponente fratto, possiamo esprimere le potenze presenti nell'integranda sotto forma di radici, ossia: = ∫_(2)^(3)(x)/(√(3−x)·√(3+x))dx = Per le proprietà dei radicali, possiamo inoltre esprimere ; = ∫_(2)^(3)(x)/(√((3−x)(3+x)))dx = ∫_(2)^(3)(x)/(√(9−x^2))dx = dove nell'ultimo passaggio abbiamo eseguito i conti con la regola del prodotto tra una somma e una differenza. Finalmente abbiamo espresso l'integrale in modo che sia facile calcolarlo. Per definizione di integrali impropri di seconda specie si ha: ; = lim_(m → 3^(−))∫_(2)^(m)(x)/(√(9−x^2))dx = lim_(m → 3^(−))∫_(2)^(m)x (9−x^2)^(−(1)/(2)) Siamo di fronte ad un integrale immediato: l'integranda infatti si presenta nella forma f'(x)·[f(x)]^(α) = lim_(m → 3^(−))[−√(9−x^2)]_(2)^(m) = √(5) L'esercizio è concluso.