Soluzioni
  • Per rispondere correttamente al quesito dobbiamo procedere con l'analisi della funzione integranda

    f(x)=\frac{x[\sin(3-x)]^{\beta}}{(3+x)^{\frac{1}{2}}(3-x)^{\frac{1}{2}}}

    Una condizione sufficiente affinché f(x) sia integrabile secondo Riemann sull'intervallo [2, 3) è dettata dalla continuità e limitatezza di f(x) nell'intervallo dato.

    (Per approfondire - classi di funzioni integrabili).

    Naturalmente f(x) è continua in [2, 3) indipendentemente da \beta perché composizione di funzioni continue.

    Per la continuità è tutto ok, dobbiamo però capire per quali valori di \beta risulta che f(x) è limitata. Per farlo dobbiamo studiare il limite parametrico

    \lim_{x\to 3^{-}}f(x)=\lim_{x\to 3^{-}}\frac{x[\sin(3-x)]^{\beta}}{(3+x)^{\frac{1}{2}}(3-x)^{\frac{1}{2}}}=(\bullet)

    Possiamo studiarlo attraverso l'uso delle equivalenze asintotiche, ed in particolare quella dettata dal limite notevole del seno. Per x\to 3 si ha che 3-x\to 0, pertanto

    \sin(3-x)\sim_{x\to 3}3-x\implies [\sin(3-x)]^{\beta}\sim_{x\to 3}(3-x)^{\beta}

    Sostituiamo nel limite la stima ottenuta

    (\bullet)=\lim_{x\to 3^{-}}\frac{x(3-x)^{\beta}}{(3+x)^{\frac{1}{2}}(3-x)^{\frac{1}{2}}}=

    e grazie alle proprietà delle potenze possiamo esprimerlo come

    =\lim_{x\to 3^{-}}\frac{x (3-x)^{\beta-\frac{1}{2}}}{(3+x)^{\frac{1}{2}}}=\begin{cases}0&\mbox{ se }\beta>\frac{1}{2}\\ \frac{3}{\sqrt{6}}&\mbox{ se }\beta=\frac{1}{2}\\ +\infty&\mbox{ se }\beta<\frac{1}{2}\end{cases}

    Se tale limite è finito allora f(x) è limitata in [2, 3) e dunque integrabile secondo Riemann: ciò avviene se \beta\ge \frac{1}{2}.

    Per \beta<\frac{1}{2} f(x) smette di essere limitata, e dunque

    I=\int_{2}^{3}\frac{x[\sin(3-x)]^{\beta}}{(3-x)^{\frac{1}{2}}(3-x)^{\frac{1}{2}}}dx

    è a tutti gli effetti un integrale improprio di seconda specie.

    Per studiarne la convergenza procediamo con il criterio del confronto asintotico. A conti fatti abbiamo già determinato una stima asintotica di f(x) per x\to 3^{-}, ma può essere raffinata ulteriormente:

    f(x)\sim_{x\to 3^{-}}\frac{x(3-x)^{\beta-\frac{1}{2}}}{(3+x)^{\frac{1}{2}}}\sim_{x\to 3^{-}}\frac{3 (3-x)^{\beta-\frac{1}{2}}}{\sqrt{6}}

    dunque l'integrale I converge se e solo se converge

    \\ \int_{2}^{3}\frac{3}{\sqrt{6}}(3-x)^{\beta-\frac{1}{2}}dx= \\ \\ \\ =\frac{3}{\sqrt{6}}\int_{2}^{3}\frac{1}{(3-x)^{\frac{1}{2}-\beta}}dx

    Ci siamo ricondotti ad un integrale improprio notevole di seconda specie che converge se e solo se

    \frac{1}{2}-\beta<1\iff\beta>-\frac{1}{2}

    e per il criterio del confronto asintotico anche l'integrale I converge in senso improprio per \beta>-\frac{1}{2}.

    Non ci resta che calcolare l'integrale di f(x) con dominio di integrazione [2, 3) quando \beta=0, ossia

    \int_{2}^{3}\frac{x}{(3-x)^{\frac{1}{2}}(3+x)^{\frac{1}{2}}}dx=

    Grazie alla definizione di potenza con esponente fratto, possiamo esprimere le potenze presenti nell'integranda sotto forma di radici, ossia:

    =\int_{2}^{3}\frac{x}{\sqrt{3-x}\cdot\sqrt{3+x}}dx=

    Per le proprietà dei radicali, possiamo inoltre esprimere

    \\ =\int_{2}^{3}\frac{x}{\sqrt{(3-x)(3+x)}}dx= \\ \\ \\ =\int_{2}^{3}\frac{x}{\sqrt{9-x^2}}dx=

    dove nell'ultimo passaggio abbiamo eseguito i conti con la regola del prodotto tra una somma e una differenza.

    Finalmente abbiamo espresso l'integrale in modo che sia facile calcolarlo. Per definizione di integrali impropri di seconda specie si ha:

    \\ =\lim_{m\to 3^{-}}\int_{2}^{m}\frac{x}{\sqrt{9-x^2}}dx= \\ \\ \\ =\lim_{m\to 3^{-}}\int_{2}^{m}x (9-x^2)^{-\frac{1}{2}}

    Siamo di fronte ad un integrale immediato: l'integranda infatti si presenta nella forma f'(x)\cdot [f(x)]^{\alpha}

    =\lim_{m\to 3^{-}}[-\sqrt{9-x^2}]_{2}^{m}=\sqrt{5}

    L'esercizio è concluso.

    Risposta di Ifrit
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