Soluzioni
  • Prende il nome di retta orientata una retta su cui è stato scelto un verso di percorrenza; ogni retta può essere orientata secondo due versi, l'uno opposto all'altro.

    Per fissare le idee disegniamo una retta r, fissiamo un punto O \in r e consideriamo due vettori applicati

    \overrightarrow{OP_1}\ \ ;\ \ \overrightarrow{OP_2}

    i cui i punti finali P_1,P_2 appartengono a r e giacciono opposti rispetto a O.

     

    Retta orientata

     

    \overrightarrow{OP_1}, \overrightarrow{OP_2} hanno stessa direzione ma verso opposto, dunque ciascuno dei due vettori individua la direzione di r ma fissa un verso di percorrenza diverso: scegliere uno dei due equivale a fissare un'orientazione della retta.

    Chiarito ciò, prima di vedere come orientare una retta è bene richiamare qualche concetto.

    Rappresentazione di una retta, vettore direzione e orientazione

    A partire dalle equazioni di una retta, nel piano o nello spazio, possiamo individuare infiniti vettori che ne individuano la direzione, i cosiddetti vettori direzioni della retta.

    Posto che una retta ammette infinite rappresentazioni mediante equazioni cartesiane o parametriche, ciascuna di tali rappresentazioni corrisponde a uno specifico vettore direzione.

    In generale possiamo considerare:

    1) il vettore direzione di una retta del piano in forma implicita

    r:\ ax+by+c=0\ \ \to\ \ \mathbf{v}_r=(b,-a)

    2) il vettore direzione di una retta nello spazio in forma parametrica

    r:\ \begin{cases}x=x_0+lt \\ y=y_0+mt \\ z=z_0+nt\end{cases}\ \ \to\ \ \mathbf{v}_r=(l,m,n)

    3) il vettore direzione di una retta dello spazio in forma cartesiana

    r: \begin{cases}ax+by+cz+d=0 \\ a'x+b'y+c'z+d'=0\end{cases}

    si ottiene passando dalla forma cartesiana a quella parametrica.

    In alternativa, in un sistema di riferimento cartesiano ortonormale, possiamo calcolarlo come prodotto vettoriale tra i coefficienti direttori dei piani che definiscono la retta.

    \mathbf{v}_r=(a,b,c) \times (a',b',c')

    Infiniti vettori direttori: una direzione, due versi

    Dato un vettore direttore \mathbf{v}_r, qualsiasi altro vettore

    \lambda \mathbf{v}_r\ \ \ \mbox{ con }\lambda\in\mathbb{R},\ \lambda\neq 0

    individua la stessa direzione di \mathbf{v}_r.

    D'altra parte, a seconda del segno di \lambda il vettore \lambda \mathbf{v}_r può avere lo stesso verso di \mathbf{v}_r oppure verso opposto:

    \lambda \mathbf{v}_r\ \begin{cases}\lambda >0\ \to\ \mbox{stesso verso di }\mathbf{v_r}\\ \\ \lambda <0\ \to\ \mbox{verso opposto a }\mathbf{v_r}\end{cases}

    Per avere un riferimento visivo consideriamo il classico piano cartesiano Oxy e disegniamo la bisettrice del primo e terzo quadrante, definita dall'equazione x-y=0.

     

    Orientazione di una retta

    Vettori direzione di una retta nel piano con versi opposti

     

    Un vettore direzione della retta è

    \mathbf{v}=(b,-a)=(-1,-1)

    ma possiamo considerare tranquillamente anche il vettore

    \mathbf{u}=(1,1)

    che individua la stessa direzione, ma che ha verso opposto rispetto a \mathbf{v}.

    Come orientare una retta nel piano o nello spazio

    A questo punto dovrebbe essere chiaro che la direzione di una retta è indipendente dalla rappresentazione mediante equazioni e dal relativo vettore direttore, ma lo stesso non si può dire per il verso. L'orientazione di una retta dipende infatti dalla rappresentazione scelta, o equivalentemente dal vettore direttore scelto.

    All'atto pratico, per orientare una retta secondo un verso prescelto dobbiamo descriverla mediante un sistema di equazioni cartesiane o parametriche che rispecchi l'orientazione desiderata; e poiché tra la forma parametrica di una retta e il corrispondente vettore direttore sussiste un legame evidente, per orientare una retta si suole fornirne un'opportuna rappresentazione parametrica anziché cartesiana.

    I metodi pratici (e di conseguenza gli esercizi) coinvolgono solitamente due modalità di orientamento:

    - dati due punti A, B della retta, si decide se il punto A deve precedere o seguire il punto B.

    - crescita/decrescita dei valori assunti da una coordinata;

    Cerchiamo di fare chiarezza mostrando come affrontare i casi che si presentano più frequentemente negli esercizi. Per completezza lavoriamo nello spazio a tre dimensioni; nel piano valgono considerazioni del tutto analoghe.

    Orientare una retta rispetto a due punti

    Supponiamo che vengano assegnati due punti

    A(x_A, y_A, z_A)\ \ ;\ \ B(x_B, y_B, z_B)

    di una retta r.

    Poiché i verbi precedereseguire e le espressioni stare davanti e stare dietro in questo contesto possono generare fraintendimenti, ci esprimiamo in termini spiccioli sperando che possiate perdonarci. :)

    Per orientare la retta nel verso da A a B si considera come vettore direttore

    A\to B)\ \ \ \mathbf{v}_r=\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A, \ y_B-y_A, \ z_B-z_A)

    Viceversa, se vogliamo orientare la retta nel verso da B ad A, si considera il vettore direzione dato da

    B\to A)\ \ \ \mathbf{v}_r=\overrightarrow{BA}=(x_A-x_B, \ y_A-y_B, \ z_A-z_B)

    Scrivere le equazioni parametriche con queste premesse è un gioco da ragazzi. ;)

    Esempio: come orientare una retta rispetto a due punti

    Determinare le equazioni parametriche della retta r passante per A(1,0,-1), \ B(2,3,2) e orientarla in modo che punti da A a B.

    Svolgimento: il vettore direttore che fornisce la direzione e il verso di percorrenza della retta è

    \\ \overrightarrow{AB} = B-A = \\ \\ = (2-1, \ 3-0, \ 2-(-1)) = \\ \\ = (1,3,3) = (l,m,n)

    Le equazioni parametriche che descrivono la retta con il verso di percorrenza scelto sono

    r: \begin{cases}x=x_A+lt \\ y=y_A+mt \\ z=z_A+nt\end{cases} \to \begin{cases}x=1+t \\ y=3t \\ z=-1+3t\end{cases}

    Orientare una retta rispetto a una coordinata crescente/decrescente

    Un ulteriore criterio di orientazione delle rette prevede di basarsi sul verso delle x, o delle y, o ancora delle z in modo che assumano valori crescenti o decrescenti.

    Fissiamo un sistema di riferimento cartesiano ortonormale RC(O, \mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k}), dove i versori \mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k} rappresentano rispettivamente gli assi coordinati x, y, z.

    Siano inoltre r una retta e immaginiamo di disporre già di un suo vettore direzione \mathbf{v}_r.

    Si dice che r è orientata:

    - nel verso delle x crescenti se l'angolo tra i vettori \mathbf{v}_r, \mathbf{i} è acuto, ossia se il prodotto scalare canonico \mathbf{v}_r \cdot \mathbf{i} è positivo;

    \mathbf{v}_r \cdot \mathbf{i}>0\ \ \to\ \ x\mbox{ crescenti}

    - nel verso delle x decrescenti se i vettori \mathbf{v}_r, \mathbf{i} formano un angolo ottuso, cioè se il prodotto scalare \mathbf{v}_r \cdot \mathbf{i} è negativo;

    \mathbf{v}_r \cdot \mathbf{i}<0\ \ \to\ \ x\mbox{ decrescenti}

    - nel verso delle y crescenti se i vettori \mathbf{v}_r, \mathbf{j} formano un angolo acuto, ossia se il prodotto scalare \mathbf{v}_r \cdot \mathbf{j} è positivo;

    \mathbf{v}_r \cdot \mathbf{j}>0\ \ \to\ \ y\mbox{ crescenti}

    - nel verso delle y decrescenti se i vettori \mathbf{v}_r, \mathbf{j} individuano un angolo ottuso, cioè se il prodotto scalare \mathbf{v}_r \cdot \mathbf{j} è negativo;

    \mathbf{v}_r \cdot \mathbf{j}<0\ \ \to\ \ y\mbox{ decrescenti}

    - nel verso delle z crescenti se i vettori \mathbf{v}_r, \mathbf{k} formano un angolo acuto, ossia se il prodotto scalare \mathbf{v}_r \cdot \mathbf{k} è positivo;

    \mathbf{v}_r \cdot \mathbf{k}>0\ \ \to\ \ z\mbox{ crescenti}

    - nel verso delle z decrescenti se i vettori \mathbf{v}_r, \mathbf{k} individuano un angolo ottuso, cioè se il prodotto scalare \mathbf{v}_r \cdot \mathbf{k} è negativo;

    \mathbf{v}_r \cdot \mathbf{k}<0\ \ \to\ \ z\mbox{ decrescenti}

    Grazie alle precedenti osservazioni, disponendo del vettore direttore \mathbf{v}_r di una retta e volendola orientare a piacere, ci basta controllare qual è il verso individuato da \mathbf{v}_r:

    - se il verso desiderato coincide con quello di \mathbf{v}_r non dobbiamo fare nulla;

    - se il verso desiderato è quello opposto rispetto al verso di \mathbf{v}_r, consideriamo come vettore direttore -\mathbf{v}_r.

    Esempio: come orientare una retta rispetto agli assi cartesiani

    Indicati con

    \mathbf{i}=(1,0,0), \ \mathbf{j}=(0,1,0), \ \mathbf{k}=(0,0,1)

    i versori di un sistema di riferimento cartesiano RC(Oxyz), orientare la retta

    r:\ \begin{cases}x=1-t \\ y=-2+3t \\ z=5t\end{cases}

    secondo le x crescenti.

    Svolgimento: poiché disponiamo delle equazioni parametriche della retta, è immediato risalire a un vettore direzione

    \mathbf{v}_r=(-1,3,5)

    Affinché r sia orientata nel verso delle x crescenti il prodotto scalare tra \mathbf{v}_r e il versore \mathbf{i} deve essere positivo. Ciò avviene se e solo se la prima componente di \mathbf{v}_r è positiva:

    \mathbf{v}_r\cdot \mathbf{i}=(-1,3,5)\cdot (1,0,0)=-1

    In conclusione un vettore direttore della retta r è

    -\mathbf{v}_r=(1,-3,-5)

    ***

    Il concetto di retta orientata entra prepotentemente in gioco soprattutto quando si definisce l'angolo tra rette in ambito universitario. A tal proposito vi consigliamo di dare un'occhiata alla lezione dedicata all'angolo tra rette nello spazio. ;)

    Risposta di Galois
 
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