Retta orientata

Prende il nome di retta orientata una retta su cui è stato scelto un verso di percorrenza; ogni retta può essere orientata secondo due versi, l'uno opposto all'altro.

Per fissare le idee disegniamo una retta , fissiamo un punto e consideriamo due vettori applicati

i cui i punti finali appartengono a e giacciono opposti rispetto a .

hanno stessa direzione ma verso opposto, dunque ciascuno dei due vettori individua la direzione di ma fissa un verso di percorrenza diverso: scegliere uno dei due equivale a fissare un'orientazione della retta.

Chiarito ciò, prima di vedere come orientare una retta è bene richiamare qualche concetto.

Rappresentazione di una retta, vettore direzione e orientazione

A partire dalle equazioni di una retta, nel piano o nello spazio, possiamo individuare infiniti vettori che ne individuano la direzione, i cosiddetti vettori direzioni della retta.

Posto che una retta ammette infinite rappresentazioni mediante equazioni cartesiane o parametriche, ciascuna di tali rappresentazioni corrisponde a uno specifico vettore direzione.

In generale possiamo considerare:

1) il vettore direzione di una retta del piano in forma implicita

2) il vettore direzione di una retta nello spazio in forma parametrica

3) il vettore direzione di una retta dello spazio in forma cartesiana

si ottiene passando dalla forma cartesiana a quella parametrica.

In alternativa, in un sistema di riferimento cartesiano ortonormale, possiamo calcolarlo come prodotto vettoriale tra i coefficienti direttori dei piani che definiscono la retta.

Infiniti vettori direttori: una direzione, due versi

Dato un vettore direttore , qualsiasi altro vettore

individua la stessa direzione di .

D'altra parte, a seconda del segno di il vettore può avere lo stesso verso di oppure verso opposto:

Per avere un riferimento visivo consideriamo il classico piano cartesiano e disegniamo la bisettrice del primo e terzo quadrante, definita dall'equazione .

Vettori direzione di una retta nel piano con versi opposti

Un vettore direzione della retta è

ma possiamo considerare tranquillamente anche il vettore

che individua la stessa direzione, ma che ha verso opposto rispetto a .

Come orientare una retta nel piano o nello spazio

A questo punto dovrebbe essere chiaro che la direzione di una retta è indipendente dalla rappresentazione mediante equazioni e dal relativo vettore direttore, ma lo stesso non si può dire per il verso. L'orientazione di una retta dipende infatti dalla rappresentazione scelta, o equivalentemente dal vettore direttore scelto.

All'atto pratico, per orientare una retta secondo un verso prescelto dobbiamo descriverla mediante un sistema di equazioni cartesiane o parametriche che rispecchi l'orientazione desiderata; e poiché tra la forma parametrica di una retta e il corrispondente vettore direttore sussiste un legame evidente, per orientare una retta si suole fornirne un'opportuna rappresentazione parametrica anziché cartesiana.

I metodi pratici (e di conseguenza gli esercizi) coinvolgono solitamente due modalità di orientamento:

- dati due punti della retta, si decide se il punto deve precedere o seguire il punto .

- crescita/decrescita dei valori assunti da una coordinata;

Cerchiamo di fare chiarezza mostrando come affrontare i casi che si presentano più frequentemente negli esercizi. Per completezza lavoriamo nello spazio a tre dimensioni; nel piano valgono considerazioni del tutto analoghe.

Orientare una retta rispetto a due punti

Supponiamo che vengano assegnati due punti

di una retta .

Poiché i verbi precedere e seguire e le espressioni stare davanti e stare dietro in questo contesto possono generare fraintendimenti, ci esprimiamo in termini spiccioli sperando che possiate perdonarci. :)

Per orientare la retta nel verso da a si considera come vettore direttore

Viceversa, se vogliamo orientare la retta nel verso da ad , si considera il vettore direzione dato da

Scrivere le equazioni parametriche con queste premesse è un gioco da ragazzi. ;)

Esempio: come orientare una retta rispetto a due punti

Determinare le equazioni parametriche della retta passante per e orientarla in modo che punti da a .

Svolgimento: il vettore direttore che fornisce la direzione e il verso di percorrenza della retta è

Le equazioni parametriche che descrivono la retta con il verso di percorrenza scelto sono

Orientare una retta rispetto a una coordinata crescente/decrescente

Un ulteriore criterio di orientazione delle rette prevede di basarsi sul verso delle , o delle , o ancora delle in modo che assumano valori crescenti o decrescenti.

Fissiamo un sistema di riferimento cartesiano ortonormale , dove i versori rappresentano rispettivamente gli assi coordinati .

Siano inoltre una retta e immaginiamo di disporre già di un suo vettore direzione .

Si dice che è orientata:

- nel verso delle crescenti se l'angolo tra i vettori è acuto, ossia se il prodotto scalare canonico è positivo;

- nel verso delle decrescenti se i vettori formano un angolo ottuso, cioè se il prodotto scalare è negativo;

- nel verso delle crescenti se i vettori formano un angolo acuto, ossia se il prodotto scalare è positivo;

- nel verso delle decrescenti se i vettori individuano un angolo ottuso, cioè se il prodotto scalare è negativo;

- nel verso delle crescenti se i vettori formano un angolo acuto, ossia se il prodotto scalare è positivo;

- nel verso delle decrescenti se i vettori individuano un angolo ottuso, cioè se il prodotto scalare è negativo;

Grazie alle precedenti osservazioni, disponendo del vettore direttore di una retta e volendola orientare a piacere, ci basta controllare qual è il verso individuato da :

- se il verso desiderato coincide con quello di non dobbiamo fare nulla;

- se il verso desiderato è quello opposto rispetto al verso di , consideriamo come vettore direttore .

Esempio: come orientare una retta rispetto agli assi cartesiani

Indicati con

i versori di un sistema di riferimento cartesiano , orientare la retta

secondo le crescenti.

Svolgimento: poiché disponiamo delle equazioni parametriche della retta, è immediato risalire a un vettore direzione

Affinché sia orientata nel verso delle crescenti il prodotto scalare tra e il versore deve essere positivo. Ciò avviene se e solo se la prima componente di è positiva:

In conclusione un vettore direttore della retta è

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Il concetto di retta orientata entra prepotentemente in gioco soprattutto quando si definisce l'angolo tra rette in ambito universitario. A tal proposito vi consigliamo di dare un'occhiata alla lezione dedicata all'angolo tra rette nello spazio. ;)