Soluzioni
  • Prende il nome di retta orientata una retta su cui è stato scelto un verso di percorrenza; ogni retta può essere orientata secondo due versi, l'uno opposto all'altro.

    Per fissare le idee disegniamo una retta r, fissiamo un punto O ∈ r e consideriamo due vettori applicati

    overrightarrowOP_1 ; overrightarrowOP_2

    i cui i punti finali P_1,P_2 appartengono a r e giacciono opposti rispetto a O.

     

    Retta orientata

     

    overrightarrowOP_1, overrightarrowOP_2 hanno stessa direzione ma verso opposto, dunque ciascuno dei due vettori individua la direzione di r ma fissa un verso di percorrenza diverso: scegliere uno dei due equivale a fissare un'orientazione della retta.

    Chiarito ciò, prima di vedere come orientare una retta è bene richiamare qualche concetto.

    Rappresentazione di una retta, vettore direzione e orientazione

    A partire dalle equazioni di una retta, nel piano o nello spazio, possiamo individuare infiniti vettori che ne individuano la direzione, i cosiddetti vettori direzioni della retta.

    Posto che una retta ammette infinite rappresentazioni mediante equazioni cartesiane o parametriche, ciascuna di tali rappresentazioni corrisponde a uno specifico vettore direzione.

    In generale possiamo considerare:

    1) il vettore direzione di una retta del piano in forma implicita

    r: ax+by+c = 0 → v_r = (b,-a)

    2) il vettore direzione di una retta nello spazio in forma parametrica

    r: x = x_0+lt ; y = y_0+mt ; z = z_0+nt → v_r = (l,m,n)

    3) il vettore direzione di una retta dello spazio in forma cartesiana

    r: ax+by+cz+d = 0 ; a'x+b'y+c'z+d'= 0

    si ottiene passando dalla forma cartesiana a quella parametrica.

    In alternativa, in un sistema di riferimento cartesiano ortonormale, possiamo calcolarlo come prodotto vettoriale tra i coefficienti direttori dei piani che definiscono la retta.

    v_r = (a,b,c)×(a',b',c')

    Infiniti vettori direttori: una direzione, due versi

    Dato un vettore direttore v_r, qualsiasi altro vettore

    λ v_r con λ∈R, λ ≠ 0

    individua la stessa direzione di v_r.

    D'altra parte, a seconda del segno di λ il vettore λ v_r può avere lo stesso verso di v_r oppure verso opposto:

    λ v_r λ > 0 → stesso verso di v_r ; λ < 0 → verso opposto a v_r

    Per avere un riferimento visivo consideriamo il classico piano cartesiano Oxy e disegniamo la bisettrice del primo e terzo quadrante, definita dall'equazione x-y = 0.

     

    Orientazione di una retta

    Vettori direzione di una retta nel piano con versi opposti

     

    Un vettore direzione della retta è

    v = (b,-a) = (-1,-1)

    ma possiamo considerare tranquillamente anche il vettore

    u = (1,1)

    che individua la stessa direzione, ma che ha verso opposto rispetto a v.

    Come orientare una retta nel piano o nello spazio

    A questo punto dovrebbe essere chiaro che la direzione di una retta è indipendente dalla rappresentazione mediante equazioni e dal relativo vettore direttore, ma lo stesso non si può dire per il verso. L'orientazione di una retta dipende infatti dalla rappresentazione scelta, o equivalentemente dal vettore direttore scelto.

    All'atto pratico, per orientare una retta secondo un verso prescelto dobbiamo descriverla mediante un sistema di equazioni cartesiane o parametriche che rispecchi l'orientazione desiderata; e poiché tra la forma parametrica di una retta e il corrispondente vettore direttore sussiste un legame evidente, per orientare una retta si suole fornirne un'opportuna rappresentazione parametrica anziché cartesiana.

    I metodi pratici (e di conseguenza gli esercizi) coinvolgono solitamente due modalità di orientamento:

    - dati due punti A, B della retta, si decide se il punto A deve precedere o seguire il punto B.

    - crescita/decrescita dei valori assunti da una coordinata;

    Cerchiamo di fare chiarezza mostrando come affrontare i casi che si presentano più frequentemente negli esercizi. Per completezza lavoriamo nello spazio a tre dimensioni; nel piano valgono considerazioni del tutto analoghe.

    Orientare una retta rispetto a due punti

    Supponiamo che vengano assegnati due punti

    A(x_A, y_A, z_A) ; B(x_B, y_B, z_B)

    di una retta r.

    Poiché i verbi precedereseguire e le espressioni stare davanti e stare dietro in questo contesto possono generare fraintendimenti, ci esprimiamo in termini spiccioli sperando che possiate perdonarci. :)

    Per orientare la retta nel verso da A a B si considera come vettore direttore

    A → B) v_r = overrightarrowAB = (x_B-x_A, y_B-y_A, z_B-z_A)

    Viceversa, se vogliamo orientare la retta nel verso da B ad A, si considera il vettore direzione dato da

    B → A) v_r = overrightarrowBA = (x_A-x_B, y_A-y_B, z_A-z_B)

    Scrivere le equazioni parametriche con queste premesse è un gioco da ragazzi. ;)

    Esempio: come orientare una retta rispetto a due punti

    Determinare le equazioni parametriche della retta r passante per A(1,0,-1), B(2,3,2) e orientarla in modo che punti da A a B.

    Svolgimento: il vettore direttore che fornisce la direzione e il verso di percorrenza della retta è

     overrightarrowAB = B-A = (2-1, 3-0, 2-(-1)) = (1,3,3) = (l,m,n)

    Le equazioni parametriche che descrivono la retta con il verso di percorrenza scelto sono

    r: x = x_A+lt ; y = y_A+mt ; z = z_A+nt → x = 1+t ; y = 3t ; z = -1+3t

    Orientare una retta rispetto a una coordinata crescente/decrescente

    Un ulteriore criterio di orientazione delle rette prevede di basarsi sul verso delle x, o delle y, o ancora delle z in modo che assumano valori crescenti o decrescenti.

    Fissiamo un sistema di riferimento cartesiano ortonormale RC(O, i, j, k), dove i versori i, j, k rappresentano rispettivamente gli assi coordinati x, y, z.

    Siano inoltre r una retta e immaginiamo di disporre già di un suo vettore direzione v_r.

    Si dice che r è orientata:

    - nel verso delle x crescenti se l'angolo tra i vettori v_r, i è acuto, ossia se il prodotto scalare canonico v_r·i è positivo;

    v_r·i > 0 → x crescenti

    - nel verso delle x decrescenti se i vettori v_r, i formano un angolo ottuso, cioè se il prodotto scalare v_r·i è negativo;

    v_r·i < 0 → x decrescenti

    - nel verso delle y crescenti se i vettori v_r, j formano un angolo acuto, ossia se il prodotto scalare v_r·j è positivo;

    v_r·j > 0 → y crescenti

    - nel verso delle y decrescenti se i vettori v_r, j individuano un angolo ottuso, cioè se il prodotto scalare v_r·j è negativo;

    v_r·j < 0 → y decrescenti

    - nel verso delle z crescenti se i vettori v_r, k formano un angolo acuto, ossia se il prodotto scalare v_r·k è positivo;

    v_r·k > 0 → z crescenti

    - nel verso delle z decrescenti se i vettori v_r, k individuano un angolo ottuso, cioè se il prodotto scalare v_r·k è negativo;

    v_r·k < 0 → z decrescenti

    Grazie alle precedenti osservazioni, disponendo del vettore direttore v_r di una retta e volendola orientare a piacere, ci basta controllare qual è il verso individuato da v_r:

    - se il verso desiderato coincide con quello di v_r non dobbiamo fare nulla;

    - se il verso desiderato è quello opposto rispetto al verso di v_r, consideriamo come vettore direttore -v_r.

    Esempio: come orientare una retta rispetto agli assi cartesiani

    Indicati con

    i = (1,0,0), j = (0,1,0), k = (0,0,1)

    i versori di un sistema di riferimento cartesiano RC(Oxyz), orientare la retta

    r: x = 1-t ; y = -2+3t ; z = 5t

    secondo le x crescenti.

    Svolgimento: poiché disponiamo delle equazioni parametriche della retta, è immediato risalire a un vettore direzione

    v_r = (-1,3,5)

    Affinché r sia orientata nel verso delle x crescenti il prodotto scalare tra v_r e il versore i deve essere positivo. Ciò avviene se e solo se la prima componente di v_r è positiva:

    v_r·i = (-1,3,5)·(1,0,0) = -1

    In conclusione un vettore direttore della retta r è

    -v_r = (1,-3,-5)

    ***

    Il concetto di retta orientata entra prepotentemente in gioco soprattutto quando si definisce l'angolo tra rette in ambito universitario. A tal proposito vi consigliamo di dare un'occhiata alla lezione dedicata all'angolo tra rette nello spazio. ;)

    Risposta di Galois
 
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