Soluzioni
  • Per la seconda domanda dovresti aprire un nuovo thread, come richiesto dal regolamento. ;)

     

    In questo tipo di esercizi, è necessario determinare prima l'insieme con cui andremo a lavorare: ricordiamo che una progressione aritmetica è una successione in cui due termini consecutivi differiscono di una costante k detta ragione della progressione:

    Quello che dobbiamo considerare però è l'insieme di tutte queste progressioni:

    \mathcal{P}:=\left\{\mathbf{x}=(x_0, x_1, \cdots)\in \mathbb{R}^{\mathbb{N}}: x_i-x_{i-1}= k_{\mathbf{x}}\quad\forall i\right\}

    Spiegazione delle notazioni:

    \mathbb{R}^{\mathbb{N}} è l'insieme delle successioni, da \mathbb{N} in \mathbb{R}, è un simbolo che nella mia università si usa spesso, ma credo che non sia molto diffuso, quindi è meglio precisare. ;)

    Il pedice nel simbolo k_{\mathbf{x}} sta ad indicare il fatto che la costante dipende dalla progressione, non è detto che due progressione abbiano la stessa ragione.

    Vediamo ora la definizione di somma:

    +:\mathcal{P}\times\mathcal{P}\longrightarrow\mathcal{P}

    è definita termine per termine, infatti siano \mathbf{x}, \mathbf{y}\in \mathcal{P}, definiamo l'operazione binaria + come:

    \mathbf{x}+\mathbf{y}= (x_0+y_0, x_1+y_1, \cdots , x_n+y_n, \cdots)

    Dobbiamo dimostrare che è una operazione interna, ciò vuol dire che la somma di due progressioni è ancora una progressione.

    Dimostrazione: poichè sia \mathbf{x} che \mathbf{y} appartengono a \mathcal{P}, allora, per ogni i\in \mathbb{N} si ha che:

    x_i-x_{i-1}= k_{\mathbf{x}}

    y_i-y_{i-1}= k_{\mathbf{y}}

    La progressione somma è:

    \mathbf{x}+\mathbf{y}= (x_0+ y_0, \cdots, x_i+y_i, \cdots, )

    Consideriamo ora la differenza tra due termini consecutivi della progressione somma:

    x_i+y_i- (x_{i-1}+y_{i-1})= x_i-x_{i-1}+y_{i}-y_{i-1}= k_{\mathbf{x}}+k_{\mathbf{y}}= k_{\mathbf{x}+\mathbf{y}}

    perfetto! La somma tra due progressioni è ancora una progressione! Dunque la somma è una operazione interna!!

    __________________________________________________________________

    Il prodotto invece è una legge di composizione esterna:

    *: \mathbb{R}\times\mathcal{P}\longrightarrow \mathcal{P}

    definita come segue:

    \lambda \mathbf{x}= (\lambda x_0, ..., \lambda x_i, ....)

    Dobbiamo dimostrare che presa una progressione artimetica \mathbf{x}\in \mathcal{P}, moltiplicata per uno scalare reale \lambda\in \mathbb{R} è ancora una progressione.

    Dimostrazione:

    \lambda \mathbf{x}= (\lambda x_0, ..., \lambda x_i, ....)

    Vediamo la differenza tra due termini consecutivi:

    \lambda x_i -\lambda x_{i-1}= \lambda (x_i-x_{i-1})= \lambda k_{\mathbf{x}}

    e questo vale per ogni i \in\mathbb{N}, ciò significa che la successione ottenuta è una progressione.

    Bene, fatto questo, dobbiamo verificare gli assiomi che definiscono uno spazio vettoriale:

    Per il momento mi fermo qui, intanto vedi se ti è chiaro per ora cosa ho scritto.

    Ok, ci rimane da dimostrare che valgono gli assiomi che definiscono lo spazio vettoriale:

    Proprietà commutativa: 

    \forall\mathbf{x, y}\in \mathcal{P}\mbox{ si ha che }\mathbf{x}+\mathbf{y}=\mathbf{y}+\mathbf{x}

    Per dimostrarlo, lavoriamo con l'elemento i-esimo:

    x_i+y_i=y_i+x_i\quad\forall i\in \mathbb{N}

    Questa uguaglianza è vera perchè la somma tra due numeri reali è commutativa! Dunque vale la proprietà commutativa tra le successioni.

    Proprietà associativa per la somma: 

    \forall \mathbf{x, y, z}\in \mathcal{P}, \quad (\mathbf{x}+\mathbf{y})+\mathbf{z}=\mathbf{x}+(\mathbf{y}+\mathbf{z}) 

    Per dimostrare questa proprietà è sufficiente considerare l'elemento i-esimo di ciascuna progressione e lavorare con esso.

    (x_i+y_i)+z_i= x_i+(y_i+z_i)\quad \forall i\in\mathbb{N}

    Questa uguaglianza è assicurata dal fatto che l'operazione somma tra numeri reali è associativa!

    Esistenza elemento neutro rispetto alla somma:

    \exists\, \mathbf{e}\in \mathcal{P}\mbox{ tale che }\forall \mathbf{x}\in \mathcal{P}\quad\mathbf{x}+\mathbf{e}=\mathbf{x} 

    Per determinare l'elemento neutro, consideriamo l'elemento i-esimo delle successioni:

    x_i+e_i=x_i\iff e_i=0\quad\forall i\in \mathbb{N} 

    Pertanto e è una successione costituita da termini tutti nulli!

    \mathbf{e}=(0,\cdots,0,...)=\mathbf{0}

    Preferisco cambiare il nome della successione appena trovata: \mathbf{0}  è un nome più figo! (mette in risalto l'analogia tra questo e l'elemento neutro rispetto alla somma usuale tra due numeri reali :D )

    Esistenza dell'elemento opposto:

    \forall \mathbf{x}\in \mathcal{P}\,\,\, \exists\, \mathbf{y}\mbox{ tale che }\quad\mathbf{x}+\mathbf{y}=\mathbf{0}

    Lo determineremo sempre considerando l'elemento i-esimo (è chiaro infatti che se lavori in generale non avrai problemi nel particolare):

    x_i+y_i=0\implies y_i=-x_i

    L'elemento opposto sarà quindi:

    \mathbf{y}=(-x_0, -x_1,\cdots, -x_n, ...)=-\mathbf{x}

    Anche in questo caso ho cambiato il nome alla successione per questioni di figaggine xD, (ma non solo per questo!).

     

    Proprietà associativa del prodotto per uno scalare:

    \forall \mathbf{x, y}\in \mathcal{P}\mbox{ e }\forall \lambda, \mu\in \mathbb{R}\mbox{ si ha: }(\lambda\mu )\mathbf{x}=\lambda(\mu \mathbf{x})

    Come sempre consideriamo il nostro caro amico "elemento i-esimo", non ci dovrebbe far più paura oramai ;)

    (\lambda\mu)x_i= \lambda (\mu x_i)\quad\forall i\in \mathbb{N}

    In questo caso ci siamo appoggiati al fatto che il prodotto tra numeri reali è associativo.

    1x=x

    Sia \mathbf{x}\in \mathcal{P} dobbiamo verificare che 1\mathbf{x}=\mathbf{x}, ma questo è immediato dalla definizione di prodotto per uno scalare!

     

    Dobbiamo dimostrare ora le proprietà distributive:

    1.\quad\forall\mathbf{x, y}\in \mathcal{P}\mbox{ e } \lambda\in \mathbb{R}\mbox{ si ha: }\lambda(\mathbf{x}+\mathbf{y})=\lambda\mathbf{x}+\lambda\mathbf{y}

    Equivale a dimostrare che:

    \lambda(x_i+y_i)=\lambda x_i+\lambda y_i\quad\forall i\in \mathbb{N}

    Ma già noi sappiamo che la moltiplicazione è distributiva rispetto all'addizione.

    2.\quad\forall\mathbf{x}\in \mathcal{P}\mbox{ e } \lambda,\mu\in \mathbb{R}\mbox{ si ha: }(\lambda+\mu)(\mathbf{x})=\lambda\mathbf{x}+\mu\mathbf{y}

    che è equivalente a dimostrare che

    (\lambda+\mu)x_i=\lambda x_i+\mu x_i\quad\forall i\in \mathbb{N}

    Ma su \mathbb{R} la moltiplicazione è distributiva rispetto all'addizione, ciò conclude tutto.

     

    L'insieme (\mathcal{P}, +, *, \mathbf{0},1, \mathbb{R}) è uno spazio vettoriale!

    Questa risposta è paragonabile ad un travaglio

    Risposta di Ifrit
  • Posso solo dire che sei stato perfetto! Tutto chiarissimo. Ti ringrazio Ifrit

    Risposta di xavier310
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