Le progressioni aritmetiche reali formano uno spazio vettoriale

Per la seconda domanda dovresti aprire un nuovo thread, come richiesto dal regolamento. ;)

In questo tipo di esercizi, è necessario determinare prima l'insieme con cui andremo a lavorare: ricordiamo che una progressione aritmetica è una successione in cui due termini consecutivi differiscono di una costante k detta ragione della progressione:

Quello che dobbiamo considerare però è l'insieme di tutte queste progressioni:

Spiegazione delle notazioni:

è l'insieme delle successioni, da in , è un simbolo che nella mia università si usa spesso, ma credo che non sia molto diffuso, quindi è meglio precisare. ;)

Il pedice nel simbolo sta ad indicare il fatto che la costante dipende dalla progressione, non è detto che due progressione abbiano la stessa ragione.

Vediamo ora la definizione di somma:

è definita termine per termine, infatti siano , definiamo l'operazione binaria + come:

Dobbiamo dimostrare che è una operazione interna, ciò vuol dire che la somma di due progressioni è ancora una progressione.

Dimostrazione: poichè sia che appartengono a , allora, per ogni si ha che:

La progressione somma è:

Consideriamo ora la differenza tra due termini consecutivi della progressione somma:

perfetto! La somma tra due progressioni è ancora una progressione! Dunque la somma è una operazione interna!!

__________________________________________________________________

Il prodotto invece è una legge di composizione esterna:

definita come segue:

Dobbiamo dimostrare che presa una progressione artimetica , moltiplicata per uno scalare reale è ancora una progressione.

Dimostrazione:

Vediamo la differenza tra due termini consecutivi:

e questo vale per ogni , ciò significa che la successione ottenuta è una progressione.

Bene, fatto questo, dobbiamo verificare gli assiomi che definiscono uno spazio vettoriale:

Per il momento mi fermo qui, intanto vedi se ti è chiaro per ora cosa ho scritto.

Ok, ci rimane da dimostrare che valgono gli assiomi che definiscono lo spazio vettoriale:

Proprietà commutativa: 

Per dimostrarlo, lavoriamo con l'elemento i-esimo:

Questa uguaglianza è vera perchè la somma tra due numeri reali è commutativa! Dunque vale la proprietà commutativa tra le successioni.

Proprietà associativa per la somma: 

Per dimostrare questa proprietà è sufficiente considerare l'elemento i-esimo di ciascuna progressione e lavorare con esso.

Questa uguaglianza è assicurata dal fatto che l'operazione somma tra numeri reali è associativa!

Esistenza elemento neutro rispetto alla somma:

Per determinare l'elemento neutro, consideriamo l'elemento i-esimo delle successioni:

Pertanto e è una successione costituita da termini tutti nulli!

Preferisco cambiare il nome della successione appena trovata:  è un nome più figo! (mette in risalto l'analogia tra questo e l'elemento neutro rispetto alla somma usuale tra due numeri reali :D )

Esistenza dell'elemento opposto:

Lo determineremo sempre considerando l'elemento i-esimo (è chiaro infatti che se lavori in generale non avrai problemi nel particolare):

L'elemento opposto sarà quindi:

Anche in questo caso ho cambiato il nome alla successione per questioni di figaggine xD, (ma non solo per questo!).

Proprietà associativa del prodotto per uno scalare:

Come sempre consideriamo il nostro caro amico "elemento i-esimo", non ci dovrebbe far più paura oramai ;)

In questo caso ci siamo appoggiati al fatto che il prodotto tra numeri reali è associativo.

1x=x

Sia dobbiamo verificare che , ma questo è immediato dalla definizione di prodotto per uno scalare!

Dobbiamo dimostrare ora le proprietà distributive:

Equivale a dimostrare che:

Ma già noi sappiamo che la moltiplicazione è distributiva rispetto all'addizione.

che è equivalente a dimostrare che

Ma su la moltiplicazione è distributiva rispetto all'addizione, ciò conclude tutto.

L'insieme è uno spazio vettoriale!

Questa risposta è paragonabile ad un travaglio

Posso solo dire che sei stato perfetto! Tutto chiarissimo. Ti ringrazio Ifrit