Esistenza e unicità di un'applicazione lineare con le immagini
Come si verifica se esiste ed è unica un'applicazione lineare definita mediante le immagini di alcuni vettori? Ad esempio hi f : R^3 -> R^4 tale che f(1,0,0)=(1,1,1,1), f(0,1,0)=(-1,1,1,1) f(0,0,1)=(1,-1,-2,1)
Se esiste, devo determinare una base per ker(f) e im(f): ragazzi vi prego aiutatemi,domani ho un esame e non so fare questo esercizio!
Ciao Ste90ban, arrivo a risponderti...
Risposta di Omega
L'applicazione lineare che cerchi esiste eccome: basta considerare la matrice avente per colonne i vettori dati dalle immagini
.
Tale matrice rappresenta l'applicazione lineare richiesta tramite il prodotto riga per colonna. Essa è inoltre unica perchè ne vengono assegnate le immagini dei vettori della base canonica del dominio 
.
Per trovare una base dell'immagine 
, osserva che costituiscono un sistema di generatori dell'immagine. Essi però non sono linearmente indipendenti, quindi non costituiscono una base dell'immagine: è sufficiente verificare che imponendo
trovi come coefficienti che annullano la combinazione lineare tutti i coefficienti della forma
con 
parametri liberi, ad esempio pari ad 1.
Questa osservazione ci dice in particolare che
![c[0,1,1]^T](/images/joomlatex/8/f/8f3808666e7b9faf871714a31ca538fa.gif)
è una base del nucleo dell'applicazione lineare, che ha quindi dimensione 1 (c è un parametro libero).
Dal teorema di nullità più rango, sappiamo quindi automaticamente che
per cui
e quindi è sufficiente prendere due dei vettori delle immagini mediante f dei vettori della base canonica per trovare una base dell'immagine
Namasté!
Risposta di Omega