Soluzioni
  • Ciao Ste90ban, arrivo a risponderti...

    Risposta di Omega
  • L'applicazione lineare che cerchi esiste eccome: basta considerare la matrice avente per colonne i vettori dati dalle immaginif(e_1),f(e_2),f(e_3).

    Tale matrice rappresenta l'applicazione lineare richiesta tramite il prodotto riga per colonna. Essa è inoltre unica perchè ne vengono assegnate le immagini dei vettori della base canonica del dominio R^{3}.

    Per trovare una base dell'immagine Im(f), osserva che f(e_1),f(e_2),f(e_3) costituiscono un sistema di generatori dell'immagine. Essi però non sono linearmente indipendenti, quindi non costituiscono una base dell'immagine: è sufficiente verificare che imponendo

    \alpha f(x_1)+\beta f(x_2)+\gamma f(x_3)=0

    trovi come coefficienti che annullano la combinazione lineare tutti i coefficienti della forma

    \alpha=0{\mbox{ }\beta=\gamma

    con \beta\mbox{, }\gamma parametri liberi, ad esempio pari ad 1.

    Questa osservazione ci dice in particolare che

    c[0,1,1]^T

    è una base del nucleo dell'applicazione lineare, che ha quindi dimensione 1 (c è un parametro libero).

    Dal teorema di nullità più rango, sappiamo quindi automaticamente che

    dim(R^{3})=dim(Ker(f))+dim(Im(f))

    per cui

    dim(Im(f))=3-1=2

    e quindi è sufficiente prendere due dei vettori delle immagini mediante f dei vettori della base canonica per trovare una base dell'immagine

    Namasté!

    Risposta di Omega
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