Esistenza e unicità di un'applicazione lineare con le immagini

L'applicazione lineare che cerchi esiste eccome: basta considerare la matrice avente per colonne i vettori dati dalle immagini.

Tale matrice rappresenta l'applicazione lineare richiesta tramite il prodotto riga per colonna. Essa è inoltre unica perchè ne vengono assegnate le immagini dei vettori della base canonica del dominio .

Per trovare una base dell'immagine , osserva che  costituiscono un sistema di generatori dell'immagine. Essi però non sono linearmente indipendenti, quindi non costituiscono una base dell'immagine: è sufficiente verificare che imponendo

trovi come coefficienti che annullano la combinazione lineare tutti i coefficienti della forma

con parametri liberi, ad esempio pari ad 1.

Questa osservazione ci dice in particolare che

è una base del nucleo dell'applicazione lineare, che ha quindi dimensione 1 (c è un parametro libero).

Dal teorema di nullità più rango, sappiamo quindi automaticamente che

per cui

e quindi è sufficiente prendere due dei vettori delle immagini mediante f dei vettori della base canonica per trovare una base dell'immagine

Namasté!