Ciao Ste90ban, arrivo a risponderti...
L'applicazione lineare che cerchi esiste eccome: basta considerare la matrice avente per colonne i vettori dati dalle immagini
.
Tale matrice rappresenta l'applicazione lineare richiesta tramite il prodotto riga per colonna. Essa è inoltre unica perchè ne vengono assegnate le immagini dei vettori della base canonica del dominio
.
Per trovare una base dell'immagine
, osserva che
costituiscono un sistema di generatori dell'immagine. Essi però non sono linearmente indipendenti, quindi non costituiscono una base dell'immagine: è sufficiente verificare che imponendo
trovi come coefficienti che annullano la combinazione lineare tutti i coefficienti della forma
con
parametri liberi, ad esempio pari ad 1.
Questa osservazione ci dice in particolare che
è una base del nucleo dell'applicazione lineare, che ha quindi dimensione 1 (c è un parametro libero).
Dal teorema di nullità più rango, sappiamo quindi automaticamente che
per cui
e quindi è sufficiente prendere due dei vettori delle immagini mediante f dei vettori della base canonica per trovare una base dell'immagine
Namasté!
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