Esistenza e unicità di un'applicazione lineare con le immagini

Come si verifica se esiste ed è unica un'applicazione lineare definita mediante le immagini di alcuni vettori? Ad esempio hi f : R^3 -> R^4 tale che f(1,0,0)=(1,1,1,1), f(0,1,0)=(-1,1,1,1) f(0,0,1)=(1,-1,-2,1)


Se esiste, devo determinare una base per ker(f) e im(f): ragazzi vi prego aiutatemi,domani ho un esame e non so fare questo esercizio!

Domanda di ste90ban
Soluzioni

Ciao Ste90ban, arrivo a risponderti...

Risposta di Omega

L'applicazione lineare che cerchi esiste eccome: basta considerare la matrice avente per colonne i vettori dati dalle immaginif(e_1),f(e_2),f(e_3).

Tale matrice rappresenta l'applicazione lineare richiesta tramite il prodotto riga per colonna. Essa è inoltre unica perchè ne vengono assegnate le immagini dei vettori della base canonica del dominio R^(3).

Per trovare una base dell'immagine Im(f), osserva che f(e_1),f(e_2),f(e_3) costituiscono un sistema di generatori dell'immagine. Essi però non sono linearmente indipendenti, quindi non costituiscono una base dell'immagine: è sufficiente verificare che imponendo

α f(x_1)+β f(x_2)+γ f(x_3) = 0

trovi come coefficienti che annullano la combinazione lineare tutti i coefficienti della forma

α = 0 β = γ

con β, γ parametri liberi, ad esempio pari ad 1.

Questa osservazione ci dice in particolare che

c[0,1,1]^T

è una base del nucleo dell'applicazione lineare, che ha quindi dimensione 1 (c è un parametro libero).

Dal teorema di nullità più rango, sappiamo quindi automaticamente che

dim(R^(3)) = dim(Ker(f))+dim(Im(f))

per cui

dim(Im(f)) = 3-1 = 2

e quindi è sufficiente prendere due dei vettori delle immagini mediante f dei vettori della base canonica per trovare una base dell'immagine

Namasté!

Risposta di Omega

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