Equazione della parabola con fuoco e vertice

Ciao ragazzi, come faccio a scrivere l'equazione di una parabola partendo dal fuoco e dal vertice?

Io ho il vertice con le coordinate (1;1) e il fuoco (1;2). Devo trovare l'equazione come fare? Me lo potete spiegare, per favore?

Domanda di madaraq
Soluzione

Devi sapere che il vertice è il punto medio del segmento perpendicolare che unisce il fuoco con la retta direttrice, che ha equazione d:y = k  dove k è un numero da determinare.

Per determinarlo abbiamo bisogno delle coordinate di almeno un punto che sta sulla direttrice, chiamiamo questo punto P(x_0, y_0):

(x_0+1)/(2) = 1 ⇒ x_0+1 = 2 ⇒ x_0 = 3

(y_0+2)/(2) = 1 ⇒ y_0+2 = 2 ⇒ y_0 = 0

La retta direttrice ha equazione y_0 = 0 ed è rappresentata dall'asse X.

Adesso che abbiamo sia il fuoco che la retta direttrice, possiamo calcolare l'equazione della parabola tramite la definizione.

Definizione: la parabola è il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti dalla retta direttrice e da un punto detto fuoco.

I punti che stanno sulla retta direttrice sono della forma: (x, 0), mentre il fuoco ha coordinate: F = (1,2)

La distanza tra un punto generico P(x, y) e il fuoco è data dalla formula per la distanza tra due punti

PF = √((x−1)^2+(y−2)^2)

Mentre la distanza tra un punto generico P(x, y) e i punti della retta direttrice è data da:

PD = √(y^2)

Imponiamo l'uguaglianza tra PF e PD:

√((x−1)^2+(y−2)^2) = √(y^2)

elevando membro a membro al quadrato:

(x−1)^2+(y−2)^2 = y^2

Sviluppiamo i quadrati con la formula per il quadrato di un binomio

x^2−2x+1+y^2−4y+4 = y^2

Portiamo tutto al primo membro e sommiamo i monomi simili:

x^2−2x+5−4y = 0

da cui l'equazione

y = (1)/(4)x^2−(1)/(2)x+(5)/(4)

Risposta di: Redazione di YouMath (Salvatore Zungri - Ifrit)
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