Disequazione goniometrica con le formule parametriche

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Ciao ragazzi mi direste come risolvere algebricamente questa disequazione goniometrica applicando le formule parametriche?

 

sen(x) - √3 > √3 cos(x).

Domanda di dav09

 
Soluzioni

  • Per risolvere la disequazione goniometrica

    sin(x)-√(3) > √(3) cos(x)

    applichiamo le formule parametriche e sostituiamo

    sin(x) = (2t)/(1+t^2) ; cos(x) = (1-t^2)/(1+t^2)

    dove

    t = tan((x)/(2)) e x ≠ π+2kπ

    Troviamo in questo modo la disequazione

    (2t)/(1+t^2)-√(3) > √(3)·(1-t^2)/(1+t^2)

    che dopo qualche passaggio algebrico diventa

    (2t-2√(3))/(1+t^2) > 0

    Il denominatore è positivo per ogni valore t, dunque possiamo limitarci alla disequazione

    2t-2√(3) > 0

    Si tratta di una banale disequazione di primo grado, che ha per soluzioni

    t > √(3)

    Ricordiamo che t = tan((x)/(2))

    dunque otteniamo

    tan((x)/(2)) > √(3)

    Le sue soluzioni sono

    (π)/(3)+kπ < (x)/(2) < (π)/(2)+kπ

    ossia, moltiplicando tutto per due

    (2π)/(3)+2kπ < x < π+2kπ

    Abbiamo finito!

    Risposta di Galois
 
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