Disequazione goniometrica con le formule parametriche

Ciao ragazzi mi direste come risolvere algebricamente questa disequazione goniometrica applicando le formule parametriche?

sen(x) - √3 > √3 cos(x).

Domanda di dav09
Soluzione

Per risolvere la disequazione goniometrica

sin(x)-√(3) > √(3) cos(x)

applichiamo le formule parametriche e sostituiamo

sin(x) = (2t)/(1+t^2) ; cos(x) = (1-t^2)/(1+t^2)

dove

t = tan((x)/(2)) e x ≠ π+2kπ

Troviamo in questo modo la disequazione

(2t)/(1+t^2)-√(3) > √(3)·(1-t^2)/(1+t^2)

che dopo qualche passaggio algebrico diventa

(2t-2√(3))/(1+t^2) > 0

Il denominatore è positivo per ogni valore t, dunque possiamo limitarci alla disequazione

2t-2√(3) > 0

Si tratta di una banale disequazione di primo grado, che ha per soluzioni

t > √(3)

Ricordiamo che t = tan((x)/(2))

dunque otteniamo

tan((x)/(2)) > √(3)

Le sue soluzioni sono

(π)/(3)+kπ < (x)/(2) < (π)/(2)+kπ

ossia, moltiplicando tutto per due

(2π)/(3)+2kπ < x < π+2kπ

Abbiamo finito!

Risposta di: Giuseppe Carichino (Galois)
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Domande della categoria Scuole Superiori - Algebra
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