Probabilità evento complementare
Come si calcola la probabilità dell'evento complementare? Vorrei sapere se esiste una formula per il calcolo della probabilità del complementare di un evento.
Eventualmente potreste dirmi qual è, spiegarmi come si dimostra e mostrarmi un esempio di applicazione?
La probabilità del complementare di un evento è uguale a 1 meno la probabilità dell'evento stesso, ossia se E è un evento e se EC è il suo evento complementare, allora la probabilità di EC è uguale a 1 meno la probabilità di E.
Prima di vedere la dimostrazione e gli esempi è bene ricordare cos'è un evento e come si definisce il suo complementare. Per completezza partiamo dalle definizioni di esperimento casuale e di spazio campionario.
• Un esperimento casuale è un fenomeno di cui conosciamo tutti i possibili risultati, ma di cui non possiamo prevedere il risultato. Un esempio è il lancio di un dado a sei facce: sappiamo che i possibili risultati sono i numeri riportati sulle facce, ma non possiamo prevedere quale faccia mostrerà il dado dopo essere stato lanciato.
• Uno spazio campionario è l'insieme di tutti i possibili risultati di un esperimento casuale, e solitamente si indica con la lettera omega maiuscola 
.
• Un evento in Probabilità è un insieme formato da tutti, nessuno o alcuni dei possibili risultati di un esperimento casuale, ossia è un sottoinsieme di .
• Il complementare di un evento 
si indica con 
ed è l'evento formato dagli elementi dello spazio campionario che non appartengono a , ossia
Nell'esempio del lancio di un dado a sei facce:
- come spazio campionario scegliamo l'insieme
dove ogni elemento indica il numero di pallini riportati su ciascuna faccia del dado.
- Un possibile evento è dato dal sottoinsieme
che possiamo esprimere a parole come "il dado mostra una faccia con un numero di pallini minore o uguale a 3".
- Il complementare di è l'evento
ossia "il dado mostra una faccia con un numero di pallini maggiore o uguale a 4".
Esempio sulla probabilità del complementare di un evento
Da un sacchetto della tombola viene estratto un numero. Si calcoli la probabilità che esca un multiplo di 10 e la probabilità del suo evento complementare.
Svolgimento: un sacchetto della tombola contiene dei bussolotti su cui sono incisi i numeri naturali da 1 a 90, dunque lo spazio campionario relativo all'estrazione di un numero è l'insieme che contiene i numeri interi da 1 a 90
Tra di essi i multipli di 10 sono 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, dunque se chiamiamo l'evento "esce un multiplo di 10" abbiamo che
Per calcolare la probabilità dell'evento usiamo la definizione classica di Probabilità e dividiamo il numero di casi favorevoli per il numero di casi possibili
L'evento complementare è il sottoinsieme di che ha come elementi i numeri naturali tra 1 e 90 che non appartengono a , dunque ha 81 elementi. Di conseguenza
Facciamo notare che saremmo giunti allo stesso risultato anche applicando la formula per la probabilità del complementare
Dimostrazione della formula per la probabilità dell'evento complementare
La dimostrazione della formula per la probabilità del complementare di un evento è una semplice applicazione del secondo e del terzo assioma della Probabilità:
- il secondo assioma afferma che la probabilità dell'intero spazio campionario è uguale a 1
- il terzo assioma asserisce che la probabilità dell'unione di due eventi incompatibili è uguale alla somma delle loro probabilità, dove per eventi incompatibili si intendono due eventi la cui intersezione è l'evento impossibile
Ciò premesso, dimostriamo la formula per la probabilità del complementare:
Siano un sottoinsieme di ed il suo evento complementare.
è costituito dagli elementi di che non appartengono a , pertanto l'evento unione 
è l'intero spazio campionario
ed 
sono eventi incompatibili
Dal secondo e dal terzo assioma della Probabilità si ottengono le seguenti uguaglianze
da cui segue che
e quindi la tesi
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È tutto, ma per concludere ti consigliamo di dare un'occhiata al nostro corso sul Calcolo delle Probabilità. ;)