Soluzioni
  • Ciao Jumpy, hai un sistema di due equazioni con una terza condizione.

    La prima individua una circonferenza di raggio 2 e centro l'origine degli assi (0,0).

    La seconda individua un fascio di rette parallele, la cui quota all'origine è data da k.

    Risolvere il sistema vuol dire trovare i valori (x,y) che soddisfano l'equazione, ovvero i punti in cui la retta generica (dipende anche da k) interseca la circonferenza.

    La terza condizione restringe il campo di ricerca alle ascisse ≥0, quindi alla semicirconferenza nel primo-quarto quadrante.

    Prendiamo la seconda equazione, e scriviamo la y in termini della x

    y=-2x-k

    Sostituiamo nella prima equazione, quella della circonferenza

    x^2+(-2x-k)^2=4

    svolgiamo i calcoli

    x^2+4x^2+k^2+4kx=4

    riscriviamola ordinando i vari termini

    5x^2+4kx+k^2-4=0

    Adesso abbiamo un'equazione di secondo grado che però dipende dal parametro k.

    In parole povere, al variare di k varia la retta: guardando il determinante dell'equazione saremo in grado di dire quali rette intersecano la circonferenza (ossia quali k vanno bene) e quali no (quali k non vanno bene).

    Per fare sì che l'equazione abbia soluzioni il determinante deve essere maggiore o uguale a 0 (vedi posizioni retta-circonferenza)

    \Delta=16k^2-4\cdot 5\cdot (k^2-4)\geq 0

    In pratica dobbiamo risolvere la disequazione di secondo grado

    16k^2-20k^2+80â¥0

    -4k^2+80\geq 0

    4k^2 -80\leq0

    ossia

    -\sqrt{20}\ \textless\ k\ \textless\ +\sqrt{20}

    Se k è compreso tra questi valori, allora la retta generica del fascio interseca la circonferenza.

    A noi però interessano solo le intersezioni con ascissa positiva o uguale a zero.

    Se disegni il fascio e la circonferenza puoi vedere che la prima retta che interseca la corconferenza in un punto di ascissa non negativa è quella con quota all'origine -2: questo perchè la circonferenza interseca l'asse delle y in -2.

    Poi ci sono tutti le rette che stanno sopra, e che sono individuate dai valori di k maggiori di -2 (prima quota all'origine valida).

    Sali e sali fino a? Fino all'ultimo valore di k dato valido stabilito dal discriminante, cioè \sqrt{20}.

    Soluzione: -2\ \textless\ k\ \textless\ +\sqrt{20}

    Namasté - Agente Ω

    Risposta di Omega
 
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