I sistemi parametrici e la circonferenza

Qualcuno mi saprebbe spiegare il procedimento per la risoluzione di questo sistema parametrico con la circonferenza e quindi dirmi come si arriva alla soluzione? Il sistema è il seguente:

$\begin{cases}x^2+y^2=4\\ y+2x+k=0\\ x\geq 0\end{cases}$

Domanda di Jumpy

Soluzioni

Ciao Jumpy, hai un sistema di due equazioni con una terza condizione.
La prima individua una circonferenza di raggio 2 e centro l'origine degli assi (0,0).
La seconda individua un fascio di rette parallele, la cui quota all'origine è data da k.
Risolvere il sistema vuol dire trovare i valori che soddisfano l'equazione, ovvero i punti in cui la retta generica (dipende anche da ) interseca la circonferenza.
La terza condizione restringe il campo di ricerca alle ascisse ≥0, quindi alla semicirconferenza nel primo-quarto quadrante.
Prendiamo la seconda equazione, e scriviamo la y in termini della x
Sostituiamo nella prima equazione, quella della circonferenza
svolgiamo i calcoli
riscriviamola ordinando i vari termini
Adesso abbiamo un'equazione di secondo grado che però dipende dal parametro k.
In parole povere, al variare di k varia la retta: guardando il determinante dell'equazione saremo in grado di dire quali rette intersecano la circonferenza (ossia quali k vanno bene) e quali no (quali k non vanno bene).
Per fare sì che l'equazione abbia soluzioni il determinante deve essere maggiore o uguale a 0 (vedi posizioni retta-circonferenza)
$\Delta=16k^2-4\cdot 5\cdot (k^2-4)\geq 0$
In pratica dobbiamo risolvere la disequazione di secondo grado
$-4k^2+80\geq 0$
$4k^2 -80\leq0$
ossia
$-\sqrt{20}\ \textless\ k\ \textless\ +\sqrt{20}$
Se k è compreso tra questi valori, allora la retta generica del fascio interseca la circonferenza.
A noi però interessano solo le intersezioni con ascissa positiva o uguale a zero.
Se disegni il fascio e la circonferenza puoi vedere che la prima retta che interseca la corconferenza in un punto di ascissa non negativa è quella con quota all'origine -2: questo perchè la circonferenza interseca l'asse delle y in -2.
Poi ci sono tutti le rette che stanno sopra, e che sono individuate dai valori di k maggiori di -2 (prima quota all'origine valida).
Sali e sali fino a? Fino all'ultimo valore di k dato valido stabilito dal discriminante, cioè $\sqrt{20}$ .
Soluzione: $-2\ \textless\ k\ \textless\ +\sqrt{20}$
Namasté - Agente Ω
Risposta di Omega

MEDIE	Geometria	Algebra e Aritmetica
SUPERIORI	Algebra	Geometria	Analisi	Altro
UNIVERSITÀ	Analisi	Algebra Lineare	Algebra	Altro
EXTRA	Pillole	Wiki

Le più lette

Esercizi simili e domande correlate

1
Risposta
Disequazione con più moduli: come cambiare il segno per i sistemi
In Scuole Superiori - Algebra, domanda di margot
1
Risposta
Domande sui sistemi di generatori di sottospazi
In Università - Algebra Lineare, domanda di povi
1
Risposta
Sistemi di 2 equazioni in 2 incognite per sostituzione
In Scuole Superiori - Algebra, domanda di Stella
1
Risposta
Test su sistemi di generatori e basi
In Università - Algebra Lineare, domanda di namis
1
Risposta
Sistemi di disequazioni goniometriche
In Scuole Superiori - Algebra, domanda di Mammu

Domande della categoria Scuole Superiori - Geometria

1
Risposta
Problema di Trigonometria sugli angoli di un trapezio isoscele
In Scuole Superiori - Geometria, domanda di Diddi
1
Risposta
Problema con teoremi di Euclide e Pitagora
In Scuole Superiori - Geometria, domanda di marcolino007
1
Risposta
Problema algebrico sul trapezio rettangolo
In Scuole Superiori - Geometria, domanda di leoncinakiara
1
Risposta
Svolgere un problema sul triangolo isoscele con quadrato inscritto
In Scuole Superiori - Geometria, domanda di Peppe
1
Risposta
Formula per la lunghezza di un arco di circonferenza
In Scuole Superiori - Geometria, domanda di Jumpy