I sistemi parametrici e la circonferenza

Ciao Jumpy, hai un sistema di due equazioni con una terza condizione.

La prima individua una circonferenza di raggio 2 e centro l'origine degli assi (0,0).

La seconda individua un fascio di rette parallele, la cui quota all'origine è data da k.

Risolvere il sistema vuol dire trovare i valori che soddisfano l'equazione, ovvero i punti in cui la retta generica (dipende anche da ) interseca la circonferenza.

La terza condizione restringe il campo di ricerca alle ascisse â‰¥0, quindi alla semicirconferenza nel primo-quarto quadrante.

Prendiamo la seconda equazione, e scriviamo la y in termini della x

Sostituiamo nella prima equazione, quella della circonferenza

svolgiamo i calcoli

riscriviamola ordinando i vari termini

Adesso abbiamo un'equazione di secondo grado che però dipende dal parametro k.

In parole povere, al variare di k varia la retta: guardando il determinante dell'equazione saremo in grado di dire quali rette intersecano la circonferenza (ossia quali k vanno bene) e quali no (quali k non vanno bene).

Per fare sì che l'equazione abbia soluzioni il determinante deve essere maggiore o uguale a 0 (vedi posizioni retta-circonferenza)

In pratica dobbiamo risolvere la disequazione di secondo grado

ossia

Se k è compreso tra questi valori, allora la retta generica del fascio interseca la circonferenza.

A noi però interessano solo le intersezioni con ascissa positiva o uguale a zero.

Se disegni il fascio e la circonferenza puoi vedere che la prima retta che interseca la corconferenza in un punto di ascissa non negativa è quella con quota all'origine -2: questo perchè la circonferenza interseca l'asse delle y in -2.

Poi ci sono tutti le rette che stanno sopra, e che sono individuate dai valori di k maggiori di -2 (prima quota all'origine valida).

Sali e sali fino a? Fino all'ultimo valore di k dato valido stabilito dal discriminante, cioè .

Soluzione:

Namasté - Agente Ω