Soluzioni
  • Mettiamo per bene i dati, e teniamo a portata di mano le formule sui poligoni regolari (tra cui troviamo anche quelle del pentagono)

    \begin{cases}AB=14\,cm\\ BC=30\, cm\\ CD=40\, cm\\ DE= 48\, cm \\ AE=?\end{cases}

    Per calcolare  il perimetro del pentagono dobbiamo determinare la lunghezza del lato AE. Per farlo dobbiamo utilizzare l'informazione:

    l'area del cerchio di diametro AE  è uguale alla somma delle aree dei semicerchi di diametri AB, BC, CD, DE.

    Calcoliamo quindi le aree dei vari cerchi, dopo divideremo per due i risultati per avere l'area dei semicerchi:

    A_{AB}=\pi \left(\frac{AB}{2}\right)^2= \pi\left(\frac{14}{2}\right)^2= 49\pi\, cm^2

    A_{BC}=\pi \left(\frac{BC}{2}\right)^2= \pi\left(\frac{30}{2}\right)^2= 225\pi\, cm^2

    A_{CD}=\pi \left(\frac{CD}{2}\right)^2= \pi\left(\frac{40}{2}\right)^2= 400\pi\, cm^2

    A_{DE}=\pi \left(\frac{DE}{2}\right)^2= \pi\left(\frac{48}{2}\right)^2= 576\pi\, cm^2

    A questo punto dividiamo i risultati ottenuti per due, così da avere le aree dei semicerchi:

    S_{AB}=\frac{A_{AB}}{2}\right)^2=\frac{49}{2} \pi\, cm^2

    S_{BC}=\frac{A_{BC}}{2}\right)^2=\frac{225}{2} \pi\, cm^2

    S_{CD}=\frac{A_{CD}}{2}\right)^2=\frac{400}{2} \pi\, cm^2

    S_{DE}=\frac{A_{DE}}{2}\right)^2=\frac{576}{2} \pi\, cm^2

    Sappiamo ora che la somma di queste aree ci dà l'area del cerchio di diametro AE:

    A_{AE}=S_{AB}+S_{BC}+S_{CD}+S_{DE}= \frac{49+225+400+576}{2}=625\pi\, cm^2

    Utilizzando le formule inverse dell'area del cerchio, determiniamo il raggio:

    r= \sqrt{\frac{652\pi }{\pi}}= \sqrt{625}= 25\, cm

    Di conseguenza, il diametro, cioè il nostro segmento AE, è 

    AE= 2\times r= 25\times 2= 50 \, cm.

    Abbiamo tutti gli ingredienti per determinare il perimetro

    P=AB+BC+CD+DE+EA= 14+30+40+48+50=182\,  cm

    Ciauz

    Risposta di Ifrit
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