Integrale con primitiva una arcotangente

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Ciao ragazzi mi aiutate con un integrale che ha come primitiva un'arcotangente?

 

∫(2)/(3+x^2)dx.

 

Il primo passaggio che faccio è portar fuori la costante 2/3 e riscrivere l'integrale così:

 

(2)/(3)∫(1)/(1+(x/3)^2)dx

 

dopodiché deduco che la primitiva è un'arcotangente e scrivo

 

(2)/(3)arctan((x)/(3))+c.

 

Dove sbaglio? PS: per vostra sfortuna ho lacune qua e la quindi mi capiterà spesso di fare affidamento su di voi.

PPS: gran Bel Sito, molto rock & roll! Grazie mille ancora!

Domanda di Wertic0

 
Soluzioni

  • Nessun problema! Abbiamo l'integrale

    ∫(2)/(3+x^2)dx

    Raccogliere 2/3 va bene! Troviamo

    (2)/(3)∫(1)/(1+(1)/(3)x^2)dx

    Come nell'altro, dato che l'arcotangente ha come derivata

    (d)/(dx)arctan(x) = (1)/(1+x^2)

    Dobbiamo scrivere x^2/3 come quadrato di qualcosa. Questo qualcosa è x/√(3). Chiaramente vogliamo far sì che l'integranda abbia primitiva

    arctan((x)/(√(3)))

    quindi ci manca la derivata dell'argomento dell'arcotangente che moltiplica l'integranda (per il teorema di derivazione della funzione composta). Questa derivata è 1/√3, quindi per farla comparire moltiplichiamo e dividiamo dentro l'integrale per √3/√3, e portiamo fuori quel √3 che ci ritroviamo a numeratore.

    Abbiamo così:

    (2√(3))/(3)∫(1)/(1+((x)/(√(3)))^2)·(1)/(√(3))dx = (2√(3))/(3)arctan((x)/(√(3)))+c

    Noi saremo sempre lieti di aiutarti. Smile Siamo contenti che YM ti piaccia!

    Namasté - Agente Ω

    Risposta di Omega

  • Perfetto! Farei meglio matematica a casa con le vostre dritte che a scuola, ma purtroppo mi tocca...Grandissimi!

    Risposta di Wertic0

  • Se ti prendi un'influenza (e speriamo di no per te!!) Matematica non sarà un problema.

    Lusingati, davvero!

    Namasté - Agente Ω

    Risposta di Omega
 
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