Stabilire se un insieme di coppie ordinate è uno spazio vettoriale

Question

Ho un insieme di coppie ordinate e devo stabilire se è uno spazio vettoriale rispetto a due operazioni definite in esso. Cosa dovrei fare? Stabilire se l'insieme R^2 delle coppie ordinate di numeri reali è uno spazio vettoriale rispetto alle operazioni: ; (x_1,y_1)+(x_2,y_2) = (x_1y_2, y_1x_2) ; λ(x, y) = (x^(λ), y^(λ))

Giuseppe Carichino · Accepted Answer

R^2 è l'insieme così definito: R^2 = (x_1,x_2) | x_1, x_2 ∈ R. Per stabilire se R^2 è uno spazio vettoriale su R rispetto alle operazioni ; (x_1,y_1)+(x_2,y_2) = (x_1y_2, y_1x_2) ; λ(x, y) = (x^(λ), y^(λ)) bisogna verificare la validità delle proprietà di cui gode uno spazio vettoriale. Se almeno una di esse non è verificata, allora l'insieme non è uno spazio vettoriale. Una tra queste è la proprietà associativa della somma, secondo cui per ogni ; (x_1, y_1), (x_2,y_2), (x_3,y_3) ∈ R^2 si ha che [(x_1,y_1)+(x_2,y_2)]+(x_3,y_3) = (x_1,y_1)+[(x_2,y_2)+(x_3,y_3)] Per com'è definita l'operazione di somma: ; [(x_1,y_1)+(x_2,y_2)]+(x_3,y_3) = ; (x_1y_2, y_1x_2)+(x_3, y_3) = (x_1y_2y_3, y_1x_2x_3) Analogamente: ; (x_1,y_1)+[(x_2,y_2)+(x_3,y_3)] = (x_1,y_1)+(x_2y_3, y_2x_3) = (x_1y_2x_3, y_1x_2y_3) Evidentemente i risultati delle due somme sono diversi, dunque la somma non è associativa; di conseguenza R^2 non è uno spazio vettoriale su R rispetto a queste operazioni. Fine!