Soluzioni
  • \mathbb{R}^2 è l'insieme così definito:

    \mathbb{R}^2=\{(x_1,x_2) \ | \ x_1, x_2 \in \mathbb{R}\}.

    Per stabilire se \mathbb{R}^2 è uno spazio vettoriale su \mathbb{R} rispetto alle operazioni

    \\ (x_1,y_1)+(x_2,y_2) = (x_1y_2, \ y_1x_2) \\ \\ \lambda(x, y)= \left(x^{\lambda}, \ y^{\lambda}\right)

    bisogna verificare la validità delle proprietà di cui gode uno spazio vettoriale. Se almeno una di esse non è verificata, allora l'insieme non è uno spazio vettoriale.

    Una tra queste è la proprietà associativa della somma, secondo cui per ogni

    \\ (x_1, y_1), \ (x_2,y_2), \ (x_3,y_3) \in \mathbb{R}^2

    si ha che

    \left[(x_1,y_1)+(x_2,y_2)\right]+(x_3,y_3) = (x_1,y_1)+\left[(x_2,y_2)+(x_3,y_3)\right]

    Per com'è definita l'operazione di somma:

    \\ \left[(x_1,y_1)+(x_2,y_2)\right]+(x_3,y_3) = \\ \\ (x_1y_2, \ y_1x_2) + (x_3, y_3) = \\ \\ = (x_1y_2y_3, \ y_1x_2x_3)

    Analogamente:

    \\ (x_1,y_1)+\left[(x_2,y_2)+(x_3,y_3)\right] = \\ \\ = (x_1,y_1)+(x_2y_3, \ y_2x_3) = \\ \\ = (x_1y_2x_3, \ y_1x_2y_3)

    Evidentemente i risultati delle due somme sono diversi, dunque la somma non è associativa; di conseguenza \mathbb{R}^2 non è uno spazio vettoriale su \mathbb{R} rispetto a queste operazioni.

    Fine!

    Risposta di Galois
 
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