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  • Uno spazio vettoriale V su \mathbb{R} è un insieme dotato di due operazioni, dette somma tra vettori e prodotto scalare-vettore, che godono delle seguenti proprietà:

    1) V è un gruppo abeliano rispetto alla somma, ossia:

    1a) la somma è associativa;

    1b) esiste l'elemento neutro rispetto alla somma;

    1c) esiste l'opposto di ogni elemento di V rispetto alla somma;

    1d) la somma è commutativa.

    2) Il prodotto scalare-vettore deve soddisfare le seguenti caratteristiche:

    2a) omogeneità (o pseudo-associatività)

    \lambda \cdot (\beta\cdot \mathbf{v})=(\lambda \beta)\cdot \mathbf{v} \ \ \ \forall \lambda, \beta \in \mathbb{R}, \ \ \forall \mathbf{v} \in V

    2b) Esistenza dell'elemento neutro rispetto al prodotto.

    2c) Distributività del prodotto rispetto alla somma tra vettori

    \lambda \cdot (\mathbf{v}+\mathbf{w}) = \lambda \cdot \mathbf{v} + \lambda \cdot \mathbf{w} \ \ \ \forall \lambda \in \mathbb{R}, \ \ \forall \mathbf{v}, \mathbf{w} \in V

    2d) Distributività del prodotto rispetto alla somma tra scalari

    (\lambda+\beta) \cdot \mathbf{v} = \lambda \cdot \mathbf{v}+ \beta \cdot \mathbf{v} \ \ \ \forall \lambda, \beta \in \mathbb{R}, \ \ \forall \mathbf{v} \in V

     

    Tornando all'esercizio, per verificare che \mathbb{R}^+ è uno spazio vettoriale su \mathbb{R} rispetto alle operazioni

    a) x+y=xy

    b) \lambda \cdot x = x^{\lambda}

    dobbiamo controllare che valgano le precedenti 8 proprietà. Procediamo passandole in rassegna una per volta.

    1a) Associatività della somma

    Per ogni x,y,z \in \mathbb{R}^+:

    (x+y)+z =

    la somma tra due elementi di x,y \in \mathbb{R}^+ è uguale all'usuale prodotto tra i numeri reali x,y

    = xy+z = xyz

    Analogamente

    x+(y+z) = x+yz = xyz

    I due risultati sono uguali, per cui la somma gode della proprietà associativa.

    1b) Esiste l'elemento neutro rispetto alla somma

    Per ogni x \in \mathbb{R}^+:

    x+1 = x1 = x

    e

    1+x = 1x = x

    di conseguenza esiste l'elemento neutro rispetto alla somma ed è 1.

    1c) Esiste l'opposto rispetto alla somma di ogni elemento di \mathbb{R}^+

    Per dimostrare l'esistenza dell'opposto dobbiamo provare che per ogni x \in \mathbb{R}^+ esiste \overline{x} \in \mathbb{R}^+ tale che la somma tra x e \overline{x} restituisca l'elemento neutro della somma, che è 1.

    Fissato x \in \mathbb{R}^+, si ha

    \frac{1}{x}+x = \frac{1}{x} \ x = \frac{x}{x} = 1

    Allo stesso tempo

    x+\frac{1}{x} = x \ \frac{1}{x} = \frac{x}{x} = 1

    dunque ogni elemento ha inverso additivo.

    Da notare che la quantità \frac{1}{x} è ben definita in quanto x \in \mathbb{R}^+, e quindi è sicuramente non nullo.

    1d) La somma è commutativa

    Per ogni x,y \in \mathbb{R}^+:

    x+y = xy =

    per la proprietà commutativa del prodotto tra numeri reali

    = yx = y+x

    Questo prova la commutatività della somma, e possiamo passare alle proprietà del prodotto.

    2a) Omogeneità (o pseudo-associatività)

    Siano \lambda, \beta \in \mathbb{R}, \ x \in \mathbb{R}^+. Allora:

    \lambda \cdot (\beta\cdot x)=

    l'operazione \cdot associa alla coppia (\beta, x) la potenza di x^{\beta}

    \lambda \cdot x^{\beta} = \left(x^{\beta}\right)^{\lambda}=

    per le proprietà delle potenze

    =x^{\beta \lambda} = (\lambda \beta) \cdot x

    2b) Esistenza dell'elemento neutro rispetto al prodotto

    Evidentemente, per ogni x \in \mathbb{R}^+:

    1 \cdot x = x^1 = x

    dunque l'elemento neutro rispetto al prodotto esiste ed è pari a 1.

    2c) Distributività del prodotto rispetto alla somma tra vettori

    Fissiamo \lambda \in \mathbb{R} e x,y \in \mathbb{R}^+. Dobbiamo dimostrare che

    \lambda \cdot (x+y) = \lambda \cdot x + \lambda \cdot y

    Analizziamo il primo membro:

    \lambda \cdot (x+y) =

    ricordiamo che x+y=xy

    =\lambda \cdot xy =

    per com'è definito il prodotto

    =(xy)^{\lambda}

    Passiamo al secondo membro

    \lambda \cdot x + \lambda \cdot y =

    calcoliamo i prodotti

    =x^{\lambda} + y^{\lambda} =

    calcoliamo la somma

    =x^{\lambda} \ y^{\lambda} = (xy)^{\lambda}

    Primo e secondo membro ci hanno portato allo stesso risultato, quindi vale la proprietà distributiva del prodotto rispetto alla somma.

    2d) Distributività del prodotto rispetto alla somma tra scalari

    Eccoci all'ultima proprietà. Affinché il prodotto sia distributivo rispetto alla somma tra scalari, dev'essere:

    (\lambda+\beta) \cdot x = \lambda \cdot x + \beta \cdot x \ \ \ \forall \lambda, \beta \in \mathbb{R}, \ \ \forall x \in \mathbb{R}^+

    Fissati \lambda, \beta \in \mathbb{R} e x \in \mathbb{R}^+ abbiamo che

    (\lambda+\beta) \cdot x = x^{\lambda + \beta} =

    per una delle proprietà delle potenze

    = x^{\lambda}x^{\beta} =

    per com'è definita l'operazione di somma

    =x^{\lambda} + x^{\beta} =

    per com'è definito il prodotto

    \lambda \cdot x + \beta \cdot x

    Le proprietà sono tutte verificate, pertanto \mathbb{R}^+ munito di queste operazioni è uno spazio vettoriale su \mathbb{R}.

    Risposta di Galois
 
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